Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $105^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo công thức lượng giác, ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\cos x + \sqrt 3 = 0$ $\Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}$

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \le \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \le 1$ hay $- \sqrt 3 \le 1 - m \le \sqrt 3$.

Suy ra $1 - \sqrt 3 \le m \le \sqrt 3 + 1$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Vậy có 3 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_8} = \frac{{2.8 + 1}}{{8 - 1}} = \frac{{17}}{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u_7} = - 0{,}1 + \left( {7 - 1} \right).4 = 23{,}9.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_1} = - 2;$

${u_2} = - 2.\left( { - 5} \right) = 10;$

${u_3} = - 2.{\left( { - 5} \right)^2} = - 50;$

${u_4} = - 2.{\left( { - 5} \right)^3} = 250.$

Vậy bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $- 2;10; - 50;250.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- \frac{{2187}}{{16}} = - 8.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}$$\Leftrightarrow \frac{{2187}}{{128}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}.$

Suy ra $n - 1 = 7 \Leftrightarrow n = 8$.

Vậy $- \frac{{2187}}{{16}}$ là số hạng thứ 8 của cấp số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${S_{14}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}$$= \frac{{\left[ {2.\left( { - 6} \right) + 13.4} \right].14}}{2} = 280.$

Vậy ${S_{14}} = 280.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {20;25} \right)$ là $\frac{{20 + 25}}{2} = 22{,}5$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

a) Tại thời điểm $8$ giờ sáng thì ta có: $t = 8 - 6 = 2.$

Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $8$ giờ sáng là:

$$S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}$$

b) Tại thời điểm $12$ giờ sáng thì ta có: $t = 12 - 6 = 6.$

Tại thời điểm $12$ giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:

$$S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0{\rm{ m}}{\rm{.}}$$

c) Tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều thì ta có: $t = \left( {15 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}.$

Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều là

$$S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59{,}86{\rm{ m}}{\rm{.}}$$

Vậy tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là

$59{,}86 - 40 = 19{,}86{\rm{ m}}$.

d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi

$S\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40$$\Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vì $0 \le t \le 12$ nên $t = 3$ hoặc $t = 9$, tức là tại thời điểm $9$ giờ sáng hoặc $3$ giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}.$

Ta có: $- 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow 2 \le 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 4.$

Do đó, tập giá trị của hàm số là $T = \left[ {2;4} \right]$.

Ta có: $2 \le 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 4$ mà $3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 m}}{2}$.

Suy ra $2 \le \frac{{\sqrt 3 m}}{2} \le 4$ hay $\frac{{4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.$

Suy ra $m \in \left[ {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right]$.

Do đó, $a = \frac{{4\sqrt 3 }}{3};b = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $T = ab = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{8\sqrt 3 }}{3} = \frac{{32}}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Theo đề bài, cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm $50$ triệu đồng.

Vậy giá của chiếc ô tô sau các năm lập thành cấp số cộng với ${u_1} = 680;d = - 50.$

Do đó, ${u_2} = {u_1} + d = 680 + \left( { - 50} \right) = 630.$

Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng là ${u_4} = {u_1} + 3d = 680 + 3.\left( { - 50} \right) = 530 > 500.$

Ta có: ${u_n} = 680 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 50} \right) < \frac{{680}}{2}$ $\Leftrightarrow 630 - 50n < 340$$\Leftrightarrow n > 5{,}8.$

Vậy sau ít nhất 6 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {60;80} \right)$ là $\frac{{60 + 80}}{2} = 70$.

b) Quan sát mẫu số liệu, nhóm $\left[ {20;40} \right)$ có tần số là $9.$

c) Cỡ mẫu của mẫu số liệu này là: $5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$.

Gọi ${x_1};{x_2};....;{x_{42}}$ là thời gian chơi điện tử một ngày của 42 học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$.

Do hai giá trị ${x_{21}};{x_{22}}$ thuộc nhóm $\left[ {40;60} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị.

d) Ta tính được giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $10;30;50;70;90.$

Thời gian chơi điện tử trung bình của các em học sinh là:

$$\frac{{10.5 + 30.9 + 50.12 + 70.10 + 90.6}}{{42}} = \frac{{435}}{7} > 50.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3069

Ta có: ${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 5

Ta có: $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3$

$$y = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3$$

$y = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3$.

Do $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$ $\Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $M = 5$, giá trị nhỏ nhất của hàm số $m = 1$.

Vậy $m.M = 1.5 = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 20,8

Ta có: $30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 50$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\Leftrightarrow t = \frac{{125}}{6} + 50k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $k = 0$ thì $\Leftrightarrow t = \frac{{125}}{6} \approx 20{,}8$ giây.

Vậy sau $20{,}8$ giây thì cano đạt độ cao $50$ m lần đầu tiên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 585

Gọi bốn số đó lần lượt là $a;a + n;a + 2n;a + 3n$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $n$ là công sai của cấp số cộng .

Theo đề, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a + \left( {a + n} \right) + \left( {a + 2n} \right) + \left( {a + 3n} \right) = 28\\{a^2} + {\left( {a + n} \right)^2} + {\left( {a + 2n} \right)^2} + {\left( {a + 3n} \right)^2} = 276\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 6n = 28\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)^2} + 12\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)n + 14{n^2} = 276\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\5{n^2} = 80\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\n = \pm 4\end{array} \right.$.

Với $n = 4$ và $n = - 4$ ta đều có 4 số hạng là $1;5;9;13$.

Vậy tích của 4 số này là $1.5.9.13 = 585$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 133

Số tiền cả gốc và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm $6$ triệu đồng) là

$100 + 100.\frac{{0{,}5}}{{100}} = 100.1{,}005 = 100{,}5$ (triệu đồng).

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là $100{,}5 + 6 = 106{,}5$ (triệu đồng).

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

$106{,}5.1{,}005 + 6 = 113{,}0325$ (triệu đồng).

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

$113{,}0325.1{,}005 + 6 = 119{,}5976625$ (triệu đồng).

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

$119{,}5976625.1{,}005 + 6 = 126{,}1956508$ (triệu đồng).

Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 5 tháng là:

$126{,}1956508.1{,}005 + 6 \approx 133$ (triệu đồng).

Vậy ${P_5} = 133$ triều đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 8,1

Cỡ mẫu là $n = 3 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15.$

Gọi ${x_1};{x_2}....{x_{15}}$ là hàm lượng vitamin C của 15 quả cam và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị thuộc nhóm $\left[ {8;9} \right)$.

Do đó, ${M_0} = 8 + \frac{{\frac{{15}}{2} - 7}}{5}\left( {9 - 8} \right) = 8{,}1$.

Vậy trung vị của nhóm số liệu là $8{,}1.$