Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Xét dãy số $13;11;8;7;5$ ta thấy ${u_1} = 13 > {u_2} = 11 > {u_3} = 8 > {u_4} = 7 > {u_5} = 5$.

Do đó dãy số $13;11;8;7;5$ là dãy số giảm. Chọn D.

Vì $M \in SC \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $M \in \left( {SAC} \right)$. Chọn A.

Theo công thức tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$, ta có

$\frac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1 \cdot {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$. Chọn D.

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $G$ và $E$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $ABC$ nên $\frac{{HG}}{{HD}} = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{1}{3}$. Suy ra $GE{\rm{//}}CD$. Chọn B.

a) Đúng. Ta có $2\sin x = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$.

b) Sai. Ta có $\sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).} \right.} \right.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Sai. Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{{5\pi }}{4}$.

d) Sai. Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ là 2 nghiệm.

a) Đúng. Ta có: ${u_2} = {u_1}q = 4,{u_4} = {u_1}{q^3} = 9 \Rightarrow \frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,q < 0} \right)$.

b) Đúng. Thay $q = - \frac{3}{2}$ vào ${u_2}$, ta được: ${u_1}\left( { - \frac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow {u_1} = - \frac{8}{3}$.

c) Sai. Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu ${u_1} = - \frac{8}{3}$ và công bội $q = - \frac{3}{2}$. Khi đó ${u_n} = - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}$.

Vậy ${u_5} = - \frac{{27}}{2}$.

d) Sai. $- \frac{{2187}}{{32}} \ne - \frac{8}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7}$ nên $- \frac{{2187}}{{32}}$ không phải là số hạng thứ 8 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

$A = \cos \left( {5\pi - x} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cot \left( {3\pi - x} \right)$

$= \cos \left( {4\pi + \pi - x} \right) - \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{2} + x} \right) + \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( { - x} \right)$

$= \cos \left( {\pi - x} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \cot x$

$= - \cos x + \cos x + \cot x - \cot x = 0$.

***Đáp án:* **0.

Phương trình $\cos 2x = m - 1$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.$

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2} \right\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

***Đáp án:* **$3$.

Ta có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$$= \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]$.

Thay vào ta có $561 = \frac{n}{2}\left[ {2 + 4 \cdot \left( {n - 1} \right)} \right]$$\Leftrightarrow 2{n^2} - n - 561 = 0$.

Giải phương trình ta được $n = 17$.

Vậy cần lấy ra $17$ số hạng đầu tiên của cấp số đó để được tổng là $561$.

***Đáp án:* **17.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua $BD$ nên $O \in \left( \alpha \right)$.

Trong tam giác $SAC$, kẻ $OK$ song song với $SA\,\,\left( {K \in SC} \right)$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,SA\\OK\,{\rm{//}}\,SA\\O \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow OK \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \cap \left( \alpha \right) = \left\{ K \right\}$.

Trong tam giác $SAC$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}OK{\rm{//}}SA\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow OK$ là đường trung bình của $\Delta SAC$.

Suy ra $SK = KC$. Mà theo giả thiết ta có $SK = mKC$. Do đó $m = 1$.

***Đáp án:* **1.

a) Ta có $- a + b \le h\left( t \right) = a\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + b \le a + b,\forall t$.

Theo bài ra: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 114{,}5\\ - a + b = 0{,}5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 57\\b = 57{,}5\end{array} \right.$.

Suy ra $h\left( t \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5$.

b) Cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m khi $h\left( t \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5 = 86$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5 + 15k\\t = 10 + 15k\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m tại thời điểm $t = 5$ phút hoặc $t = 10$ phút.

Gọi $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ là số ngày mỗi học sinh nuôi heo đất để số tiền đạt được là $5658800$ đồng.

Vì lớp 11A có tất cả 43 học sinh nên mỗi học sinh sau n ngày đều có số tiền nuôi heo đất là:

$\frac{{5658800}}{{43}} = 131600$ đồng.

Ngày đầu tiên mỗi bạn nuôi heo $2000$ đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn nuôi heo hơn ngày liền trước là $200$ đồng, do đó số tiền nuôi heo của mỗi bạn mỗi ngày trong n ngày lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 2000$ và công sai $d = 200$.

Ta có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = 131600$

$\Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 200} \right] = 131600 \Leftrightarrow 100{n^2} + 1900n - 131600 = 0$.

Giải phương trình ta được $n = 28$ (loại đi $n = - 47$vì $n \in {\mathbb{N}^*}$).

Vậy sau $28$ ngày thì số tiền nuôi heo đất của lớp 11A thu được là $5658800$ đồng.

a) Gọi $O = AC \cap BD$.

Xét tam giác $SAC$ có $O$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM{\rm{//}}SC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OM\,{\rm{//}}\,\,SC\\SC \subset \left( {SCD} \right)\\OM \not\subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có $BN \cap AD = E$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ có $EM \cap SD = F \Rightarrow F = SD \cap \left( {BMN} \right)$.

Tam giác $SAE$ có $D$ là trung điểm của $AE$; $M$ là trung điểm của $SA$.

Suy ra $F$ là trọng tâm tam giác $SAE$, do đó $\frac{{SF}}{{FD}} = 2$.