Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{\pi }{2} < x < \pi$ nên góc nằm ở góc phần tư thứ hai.

Do đó, $\cos x < 0$.

Suy ra, $\cos x = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\sin x - \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có ${u_1} = 1;\,{u_2} = \frac{1}{2}$.

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}$, ${u_n} = \frac{1}{n}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n.$

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công sai của cấp số cộng đó là: $d = {u_2} - {u_1} = 5 - 2 = 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_5} = {u_1}.{q^4} = {u_2}.{q^3} = 6.{q^3}$ $\Leftrightarrow {q^3} = 27 \Leftrightarrow q = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${S_{10}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + 9d} \right].10}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + 9.2} \right].10}}{2} = 100$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do ta chưa xác định được dấu của ${v_n}$ nên ta chưa thể kết luận rằng: “Nếu $\lim {u_n} = a > 0$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\lim \frac{{n + 1}}{n} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 7} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{5\left( {5 - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 7}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Ta có: $2\sin x - \sqrt 2 = 0$

$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$

$$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Với $k = - 1$ ta có: $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{7\pi }}{4}\\x = - \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.$.

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{{5\pi }}{4}$.

Với $- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}$ $\Leftrightarrow - \frac{{3\pi }}{4} < k2\pi < \frac{\pi }{4}$$\Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$ và $x = \frac{\pi }{4}$.

Với $- \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{4} < k2\pi < - \frac{\pi }{4}$$\Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị $k$ thỏa mãn.

Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là một nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

a) Tại thời điểm $8$ giờ sáng thì ta có: $t = 8 - 6 = 2.$

Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $8$ giờ sáng là:

$$S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}$$

b) Tại thời điểm $12$ giờ sáng thì ta có: $t = 12 - 6 = 6.$

Tại thời điểm $12$ giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:

$$S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0{\rm{ m}}{\rm{.}}$$

c) Tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều thì ta có: $t = \left( {15 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}.$

Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều là

$$S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59{,}86{\rm{ m}}{\rm{.}}$$

Vậy tại thời điểm $3$ giờ $45$ chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là

$59{,}86 - 40 = 19{,}86{\rm{ m}}$.

d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi

$S\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40$$\Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vì $0 \le t \le 12$ nên $t = 3$ hoặc $t = 9$, tức là tại thời điểm $9$ giờ sáng hoặc $3$ giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{S_{50}} = 5150\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{\left[ {2.5 + 49d} \right].50}}{2} = 5150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right.$.

Vậy cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng ${u_1} = 5$ và công sai $d = 4$.

Ta có: ${u_{85}} = {u_1} + 84d = 5 + 84.4 = 341.$

$${u_{10}} = {u_1} + 9d = 5 + 9.4 = 41.$$

Tổng của 85 số hạng đầu ${S_{85}} = \frac{{\left( {5 + 341} \right).85}}{2} = 14705$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

a) Theo đề, sau $t$ phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là $600 + 15t$ ($l$) và lượng muối có được là $30.15t$ ($g$).

Khi đó, nồng độ muối trong nước là: $C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{600 + 15t}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}{\rm{ }}\left( {g/l} \right)$.

b) Khi $t$ tiến tới 15 phút, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 15} C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 15} \frac{{30t}}{{40 + t}} = \frac{{30.15}}{{40 + 15}} = \frac{{90}}{{11}} > 8.$

Do đó, nồng độ muối trong hồ khi $t$ tiến tới 15 phút lớn hơn $8{\rm{ }}\left( {g/l} \right)$.

c) Khi $t$ tiến tới dương vô cùng, ta có:

$$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{40}}{t} + 1} \right)}} = 30{\rm{ }}\left( {g/l} \right).$$

d) Do đó, nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá ${\rm{30 }}\left( {g/l} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3$.

Do $\forall x$: $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$$\Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5$

$$\Leftrightarrow 1 \le y \le 5.$$

Vậy $m = 1$ và $M = 5$. Do đó, ta có: $M + m = 5 + 1 = 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 149

Vì $- 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1$

$$\Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4$$

$$\Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14$$

$\Leftrightarrow 6 \le y \le 14$.

Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi $y = 14$.

Suy ra $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow t - 60 = 89 + 356k$$\Leftrightarrow t = 149 + 356k$.

Mà $t \in {\mathbb{N}^ * }$ và $t \le 365$ nên $0 < 149 + 356k \le 365$$\Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{89}}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$. Do đó, $k = 149$.

Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1647

Gọi ${u_n}$ là số ghế ở hàng thứ $n.$

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 35$, công sai $d = 2$.

Tổng số ghế của hội trường là ${S_{27}} = \frac{{27\left( {2{u_1} + 26d} \right)}}{2} = 1647$ ghế.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2227

Đặt ${P_0} = 2000000 = {2.10^6}$ và $r = 1{,}2\% = 0{,}012$.

Gọi ${P_n}$ là số dân của tỉnh M sau $n$ năm nữa.

Ta có: ${P_{n + 1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).$

Suy ra $\left( {{P_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${P_0}$ và công bội $q = 1 + r$.

Do đó, số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là

${P_9} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1{,}012} \right)^9} \approx 2227$ (nghìn người).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 17

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \frac{1}{4}.$

Suy ra $a = 1,b = 4$.

Vậy $S = {a^2} + {b^2} = {1^2} + {4^2} = 17.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: −1,7

Do $x \to {1^ - }$ nên ta có $\left| {x - 1} \right| = 1 - x$

Do đó, ta được: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x - 3 + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{x^2} - 2x + 1}}$

$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3\left( {x - 1} \right) + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$

$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 - \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$

$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{9 - 5{x^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}$$

$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}$$

$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{3 + \sqrt {5{x^2} + 4} }} = - \frac{5}{3} \approx - 1{,}7.$$