Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ nên đó là hàm số $y = \cos x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sin x = \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{2} < x < \pi$ thì $x$ thuộc góc phần tư thứ II.

Do đó, $\cos x < 0$.

Vậy $\cos x = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = - \frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( {Ou,Ov} \right) = - \left( {360^\circ - 60^\circ } \right) = - 300^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $1 - \cos x \ne 0$ $\Leftrightarrow \cos x \ne 1$$\Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\sin x - \sqrt 3 = 0$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy dãy số ở đáp án C, các số liền sau đều cách số liền trước nó $- 4$ đơn vị.

Vậy $1; - 3; - 7; - 11; - 15$là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_2} = {u_1}q = \left( { - 2} \right) \cdot 3 = - 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng 10 số hạng đầu tiên là: ${S_{10}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + 9d} \right].10}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + 9.2} \right].10}}{2} = 100.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình chóp tứ giác có 4 mặt là tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$

$$\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.$$

$$\left( {IAC} \right) \cap \left( {IBD} \right) = IO$$

($O$ là tâm $ABCD$).

Có $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên $IJ\parallel AB.$

Mà $CD\parallel AB$ suy ra $IJ\parallel CD$.

Do đó, $CDIJ$ là hình thang.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dễ thấy $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right)$.

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành.

Khi đó, $O = AC \cap MN$

$\Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right)$.

Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right) = SO.$

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

a) Ta có: $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.$$

b) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình, ta có:

Với $- \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0$ khi $k < \frac{1}{3}$, mà $k \in \mathbb{Z}$ nên ${k_{\max }} = 0$. Khi đó, $x = - \frac{{2\pi }}{9}$ (1)

Với $\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0$ khi $k < - \frac{1}{2}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên ${k_{\max }} = - 1$. Khi đó, $x = - \frac{\pi }{3}$ (2)

So sánh (1) và (2), ta suy ra $x = - \frac{{2\pi }}{9}$ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

c) Với $0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}$ thì $\frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}$. Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 1$.

Do đó, $x = \frac{{4\pi }}{9}$.

Với $0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}$ thì $- \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}$. Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0.$

Do đó, $x = \frac{\pi }{3}$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ là $\frac{{4\pi }}{9} + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{9}.$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây là $h\left( 5 \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69{,}3{\rm{ }}\left( {cm} \right).$

Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây là $h\left( {20} \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .20}}{8}} \right) = 75{\rm{ }}\left( {cm} \right).$

Ta thấy $- 75 \le 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75$.

Sóng đạt chiều cao lớn nhất là $75{\rm{ }}\left( m \right)$ khi $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = 4 + 16k.$

Có $0 \le t = 4 + 16k \le 30$$\Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{26}}{{16}}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0,k = 1$ và khi đó $t = 4$, $t = 20$ giây.

Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc $t = 0$ giây), các thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 4 giây và 20 giây.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\u_2^2 + u_6^2 = 466\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 6d = 26\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 26\\2u_1^2 + 12{u_1}d + 26{d^2} = 466\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13 - 3d\\u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\end{array} \right.$$

Thay ${u_1} = 13 - 3d$ vào phương trình $u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233$, ta được:

$${\left( {13 - 3d} \right)^2} + 6\left( {13 - 3d} \right)d + 13{d^2} = 233$$

$$\Leftrightarrow 169 - 78d + 9{d^2} + 78d - 18{d^2} + 13{d^2} - 233 = 0$$

$\Leftrightarrow 4{d^2} - 64 = 0$$\Leftrightarrow {d^2} = 16$

Do $d < 0$ nên $d = - 4$.

Suy ra ${u_1} = 13 - 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 13 + 12 = 25$.

Vậy cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng ${u_1} = 25$ và công sai $d = - 4$.

Ta có: ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 25 + 9.\left( { - 4} \right) = - 11.$

$${u_{2024}} = {u_1} + 2023d = 25 + 2023.\left( { - 4} \right) = - 8067.$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

a) Ta có: $E = AB \cap CD$ $\Rightarrow E \in AB,AB \subset \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow E \in \left( {ABCD} \right).$

Tương tự: $F = AC \cap BD$$\Rightarrow F \in AC,AC \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow F \in \left( {ABCD} \right).$

Do đó, $FE \subset \left( {ABCD} \right).$

b) Dễ thấy $\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\B \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)$.

Vậy $AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABCD} \right).$

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

$\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow SF = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).$

Do đó, $SE$ là giao điểm của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, $SF$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

d) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}G \in FE,{\rm{ }}FE \subset \left( {SEF} \right)\\G \in AD,AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow G \in \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).$

Mà $S \in \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).$

Vậy $SG = \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: $3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - m + 5 = 0$

$$\Leftrightarrow 3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = m - 5$$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{m - 5}}{3}$.

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \le \frac{{m - 5}}{3} \le 1$ hay $2 \le m \le 8$.

Theo đề, $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 70

Ta có: $x = \frac{{5 + 15}}{2} = 10$.

Nhận thấy $d = 10 - 5 = 5$.

Do đó, $y = 15 + 5 = 20.$

Suy ra $T = 3x + 2y = 3.10 + 2.20 = 70.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$

Ta có: $I = AM \cap \left( {SBD} \right) = AM \cap SO.$

Xét tam giác $SAC$, có $AM$ và $SO$ là hai đường trung tuyến của tam giác.

Mà $AM \cap SO = I$ nên $I$ là trọng tâm của tam giác $SAC$.

Do đó, $\frac{{IA}}{{IM}} = 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 15,7

Giải phương trình $y = 0$, ta có:

$4{,}8\sin \frac{x}{5} = 0$$\Leftrightarrow \sin \frac{x}{5} = 0$$\Leftrightarrow \frac{x}{5} = k\pi \Leftrightarrow x = k5\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Do đó đồ thị cắt trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $0;{\rm{ }}5\pi ;{\rm{ }}10\pi ,...$

Vì thế ta có tọa độ điểm $A\left( {5\pi ;0} \right)$ nên chiều rộng của con sông là $OA = 5\pi \approx 15{,}7{\rm{ }}\left( m \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 250

Số lượng vi khuẩn ban đầu là ${S_0} = {4.10^6}$.

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn còn lại bằng một nửa so với trước đó.

Do đó, sau $6t$ giờ số lượng vi khuẩn còn lại là số hạng thứ $t$ của một cấp số nhân với ${u_1} = {S_0} = {4.10^6}$ và công bội là $q = \frac{1}{2}$.

Vậy sau 24 giờ ta được $t = 4$, suy ra $S = {4.10^6}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 250$ (nghìn con).

Vậy sau 24 giờ số lượng vi khuẩn còn lại là $250$ nghìn con.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi $O = AC \cap BD$, $I = AM \cap SO$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kéo dài $GI$ cắt $SD$ tại $K$.

Suy ra $K = SD \cap \left( {AMG} \right)$.

Trong tam giác $SAC$, có $SO,AM$ là hai đường trung tuyến nên $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$.

Suy ra $\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{1}{3}$.

Ta lại có $\frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}$.

$\Rightarrow \frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow GI\parallel SB$ $\Rightarrow GK\parallel SB$$\Rightarrow \frac{{KD}}{{KS}} = \frac{{GD}}{{GB}}.$

Ta có: $DO = BO = 3GO$$\Rightarrow GD = 4GO;GB = 2GO.$

Vậy $\frac{{KD}}{{KS}} = \frac{{GD}}{{GB}} = \frac{{4GO}}{{2GO}} = 2$$\Rightarrow \frac{{KS}}{{KD}} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$