Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin x = \sin 30^\circ$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Mà $90^\circ < x < 180^\circ$ do đó $x = 150^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức lượng giác, ta có: $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là $T = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{{25}} = \frac{{21}}{{25}}$.

Suy ra $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5}{\rm{ }}\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right).$

Vậy $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt {21} }}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cot x + \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3$$\Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có ${u_1} = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \ne 1$, ${u_2} = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \ne 7$.

Ta có ${u_n} = 2n + 1$, ${u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 = 2n + 3$.

Thấy ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2n + 3 - 2n - 1 = 2 > 0,{\rm{ }}\forall n.$

Do đó, $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2n + 1$ là dãy tăng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công sai của cấp số cộng trên là: $d = {u_2} - {u_1} = 8 - 2 = 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$$= \frac{{2.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}} = 59048.$

Vậy ${S_{10}} = 59048.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ với $b \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\lim \frac{{1 - n}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{ - n + 1}}{{5n + 3}} = - \frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là $SO.$

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

Ta có: $\sin 2x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Xét trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ ta có:

$\left[ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \\0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 0\end{array} \right.{\rm{ }}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{12}}\\x = \frac{{7\pi }}{{12}}\end{array} \right.{\rm{ }}$.

Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{11\pi }}{{12}}$.

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ bằng $\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $- 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1$

$$\Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3$$

$\Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15$.

Do đó, tập giá trị của hàm số $d\left( t \right)$ là $\left[ {9;15} \right].$

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$$3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12$$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi$ $\Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Do $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$

Với $k = 0$ thì $t = 80 + 182.0 = 80;$

Với $k = 1$ thì $t = 80 + 182.1 = 262.$

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

$$3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9$$

$$\Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Do $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow k = 1$.

Với $k = 1$ thì $t = - 11 + 364 = 353.$

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay $t = 107$ vào $d\left( t \right)$, ta được $d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13{,}3$ giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) S

d) Đ

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 168\\{u_1}.{q^3} + {u_1}.{q^4} + {u_1}.{q^5} = 21\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 168\\{u_1}.{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 21\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}\\{q^3} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 96\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Do đó, số hạng ${u_1} = 96$ và công bội của cấp số nhân $q = \frac{1}{2}$.

Ta có: ${u_2} = 96.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - 1}} = 48$.

Do đó, 24 là không là số hạng thứ hai của cấp số nhân.

Ta có: ${S_{10}} = \frac{{96\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{3069}}{{16}}.$

Vậy tổng của 10 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng $\frac{{3069}}{{16}}.$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

a) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Vậy $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $P = AM \cap SO$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}P \in AM\\P \in SO,{\rm{ }}SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow P = AM \cap \left( {SBD} \right).$

c) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $K = AN \cap CD$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}K \in AN,{\rm{ }}AN \subset \left( {AMN} \right)\\K \in CD,{\rm{ }}CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow K \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}M \in SC,{\rm{ SC}} \subset \left( {SCD} \right)\\M \in \left( {AMN} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow M \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Vậy $KM = \left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right).$

d) Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, gọi $H = KM \cap SD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}H \in KM,\,\,KM \subset \left( {AMN} \right)\\H \in SD\end{array} \right.$$\Rightarrow H \in SD \cap \left( {ANM} \right)$.

Do đó, giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ là điểm nằm trên cạnh $KM.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: −1,5

Ta có: $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ do đó $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra $\cos \alpha < 0$ và $\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Ta có: $P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$

$$P = \frac{{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} + \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = 2\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \approx - 1{,}5.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao $40{\rm{ m}}$ thì $h\left( t \right) = 40$.

$\Leftrightarrow 30 + 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Giá trị $t > 0$ nhỏ nhất thỏa mãn là $t = 12{,}5$ giây khi $k = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi ${u_1};{u_2};.....;{u_{30}}$ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, … và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: ${u_n} = {u_{n - 1}} + 4{\rm{ }}\left( {n = 2;3;...;30} \right)$.

Ký hiệu: ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}$, theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: ${S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + 29.4} \right].30}}{2} = 2190$.

Vậy khán phòng có tất cả $2190$ ghế.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6552

Gọi $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân cần tìm, $q$ là công bội của cấp số nhân đó.

Ta có: ${u_1} = 18,{u_2} = 54$ $\Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3$.

Xét số hạng cuối: ${u_n} = 4374$$\Rightarrow {u_1}.{q^{n - 1}} = 4374$ $\Leftrightarrow {18.3^{n - 1}} = 4374$ $\Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^5}$ $\Leftrightarrow n = 6.$

Vậy tổng sáu số hạng của cấp số nhân là ${S_6} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^6}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{18.\left( {1 - {3^6}} \right)}}{{1 - 3}} = 6552$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1

Ta có: $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$

$$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$$

$= 1 - \frac{1}{{n + 1}}$$= \frac{n}{{n + 1}}$.

Suy ra $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,8

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, gọi $F = KN \cap SD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, gọi $E = KM \cap SA$.

Lúc này, mặt phẳng $\left( {KMN} \right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác $MNFE$.

Ta có: $AD = 2BC$ thì $BC$ là đường trung bình của tam giác $KAD.$

Suy ra $M$ là trọng tâm của tam giác $SAK$ và $E$ là trung điểm của $SA.$

Tương tự $EF$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ $\Rightarrow EF = \frac{1}{2}AD.$

Mặt khác theo giả thiết, ta có $SM = 2MB;SN = 2NC$ $\Rightarrow MN = \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}AD.$

Vì $\frac{{MN}}{{EF}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KFE}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}$$\Leftrightarrow {S_{KMN}} = \frac{4}{9}{S_{KEF}};{S_{MNFE}} = \frac{5}{9}{S_{KEF}}$.

Vậy $\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{MNFE}}}} = \frac{4}{5} = 0{,}8.$