Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $108^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{3\pi }}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo công thức về cung liên kết, ta có $\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: $\sin x \ne 0$ $\Leftrightarrow x \ne k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Do đó, $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin x + \cos x = \frac{1}{2}$

$$\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}$$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{4}$$

$$\Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}$$

$\Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{3}{4}$.

Vậy $\sin 2x = - \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2\sin x + 1 = 0$

$$\Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - 30^\circ } \right)$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30^\circ + k360^\circ \\x = 210^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng khi và chỉ khi ${u_n} < {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy dãy số ở đáp án B, các số liền sau đều cách số liền trước nó $- 4$ đơn vị.

Vậy $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tổng 4 số hạng đầu của dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${S_4} = \frac{{4.\left[ {2.1 + \left( {4 - 1} \right).3} \right]}}{2} = 22.$

Vậy ${S_4} = 22.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\lim {q^n} = 0{\rm{ }}\left( {\left| q \right| < 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} - n + 1} }}{{4n}} = \lim \frac{{\sqrt {9{n^2} - n + 1} }}{{\sqrt {16{n^2}} }}$ $= \lim \sqrt {\frac{{9 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{{16{n^2}}}{{{n^2}}}}}} = \lim \sqrt {\frac{9}{{16}}} = \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB.$

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là $SB.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\MN \subset \left( {GMN} \right)\\CD \subset \left( {BCD} \right)\\MN\parallel CD\end{array} \right.$

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD.$

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $\left( {OA,OB} \right) = \frac{{2\pi }}{8} + k2\pi {\rm{ }} = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

b) Ta thấy $A,C,E,G$ lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác $0rad,{\rm{ }}\frac{\pi }{2}rad,$ $\frac{{2\pi }}{2}rad,{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2}rad$,…. Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau $\frac{\pi }{2}rad$. Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là $\frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Ta thấy hai điểm $A,E$ lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác $0^\circ ,180^\circ ,360^\circ ,$$540^\circ ,...$Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau $180^\circ$. Vì vậy công thức duy nhất cho các góc lượng giác ấy là $k180^\circ {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

d) Theo hệ thức Chasles, ta có:

$$\left( {OA,OB} \right) + \left( {OB,OC} \right) = \left( {OA,OC} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

$$\left( {OA,OC} \right) + \left( {OC,OH} \right) = \left( {OA,OH} \right) = - \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Vì $- 1 \le \sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1$ nên $- 2{,}83 \le 2{,}83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 2{,}83.$

Do đó, $9{,}17 \le 12 + 2{,}83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 14{,}83{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}.$

Vậy tập giá trị của hàm số $L\left( t \right)$ là $\left[ {9{,}17;14{,}83} \right].$

Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$ $\Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = - \frac{{45}}{4} + 365k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 1$ suy ra $t = - \frac{{45}}{4} + 365 = 353{,}75$.

Do đó, vào ngày thứ 353 của năm thì thành phố sẽ có ít giờ ánh sáng nhất.

Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = 171{,}25 + 365k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 0$ suy ra $t = 171{,}25.$

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều ánh sáng mặt trời nhất.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\{u_1}.\left( {{q^4} - {q^2}} \right) = 108\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\\frac{{{q^4} - {q^2}}}{{{q^3} - q}} = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\q = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.$.

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là ${u_1} = 9.$

b) Công bội của cấp số nhân là $q = 2.$

c) Ta có: ${S_n} = 4599$ $\Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599$ $\Leftrightarrow \frac{{9.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599$.

$\Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599$ $\Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511$ $\Leftrightarrow {2^n} = 512$ $\Leftrightarrow n = 9$.

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng $4599$.

d) Ta có: ${u_k} = 576$ $\Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576$ $\Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576$ $\Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64$ $\Leftrightarrow k = 7.$

Vậy số $576$ là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Ta có: $I \in AD,$$AD \subset \left( {JAD} \right)$$\Rightarrow I \in \left( {JAD} \right)$ $\Rightarrow IJ \subset \left( {JAD} \right);$

$J \in BC,$ $BC \subset \left( {IBC} \right)$ $\Rightarrow J \in \left( {IBC} \right)$$\Rightarrow IJ \subset \left( {IBC} \right)$.

Vậy $IJ = \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right).$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\\D \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow ND = \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right).$

Vậy $ND$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {NMD} \right),\left( {ADC} \right).$

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\\I \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\end{array} \right.$.

Vậy $BI$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {BIC} \right),\left( {ABD} \right).$

d) Gọi $E = DN \cap CI$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $F = DM \cap BI$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}E \in DN,{\rm{ }}DN \subset \left( {DMN} \right)\\E \in IC,{\rm{ }}IC \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$ (1).

Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}F \in DM,{\rm{ }}DM \subset \left( {DMN} \right)\\F \in IB,{\rm{ }}IB \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $EF = \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$. Ta có $EF$ cắt $IJ.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2021

Ta có: $y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018$

$$= 1 + \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018$$

$$= \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2019$$

$$= 2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2019$$

$$= 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2019$$

Ta thấy: $- 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$

$$\Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$$

$\Leftrightarrow 2017 \le 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2019 \le 2021$.

Vậy giá trị lớn nhất của $y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018$ là $2021$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 14

Ta có: $- 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ $\Leftrightarrow 9 \le 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12 \le 15$.

Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.

Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng $15{\rm{ }}\left( m \right)$ khi

$\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$$\Leftrightarrow t = - 2 + 16k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Vì trong một ngày có 24 giờ nên $0 \le - 2 + 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{{26}}{{16}}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 1$$\Rightarrow t = 14$giờ.

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi $t$ bằng $14$ giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3072

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Ta có: ${u_2} = {u_1}.q = 3q;{\rm{ }}{u_3} = {u_1}.{q^2} = 3{q^2}.$

Suy ra $15{u_1} - 4{u_2} + {u_3} = 45 - 12q + 3{q^2}$$= 3{\left( {q - 2} \right)^2} + 33 \ge 33,\forall q \in \mathbb{R}.$

Ta có: $15{u_1} - 4{u_2} + {u_3}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $33$ khi và chỉ khi $3{\left( {q - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow q = 2.$

Khi đó, ${u_{11}} = {u_1}.{q^{10}} = 3072.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 8

Gọi ${u_n}$ là lương anh Nam nhận được ở năm thứ $n$.

Ta có lương khởi điểm là $35000$ đô la mỗi năm nên ${u_1} = 35000$.

Mỗi năm được tăng thêm $1400$ đô la nên ${u_n} = {u_{n - 1}} + 1400,{\rm{ }}n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^ * }.$

Như vậy dãy số tiền lương mà anh Nam nhận được qua các năm là ${u_1};{u_2};.....;{u_n}$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 35000$; $d = 1400$.

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với ${S_n} = 319200$; ${u_1} = 35000$; $d = 1400$.

Ta có: $319200 = {S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)1400} \right]}}{2}$

$$\Leftrightarrow 1400{n^2} + 68600n - 638400 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\left( {TM} \right)\\n = - 57\left( L \right).\end{array} \right.$$

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là $319200$ đô la.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,75

Ta có: $\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}$

$$= \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n}} \right) - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]$$

$= \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)$.

Do đó, $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi $F = AB \cap CD$. Nối $F$ với $M$, $FM \cap SC = N$. Khi đó, $N$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ và đường thẳng $SC$.

Theo giả thiết, ta có $AD = 2BC$ và $AD\parallel BC$ do đó $BC$ là đường trung bình của tam giác $FAD$.

Suy ra $C$ là trung điểm của $FD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ kẻ $CE\parallel NM,{\rm{ }}\left( {E \in SD} \right)$.

Do $C$ là trung điểm $FD$ nên suy ra $E$ là trung điểm $MD$ và $M$ là trung điểm $SE$.

Do $MN\parallel CE$ và $M$ là trung điểm $SE$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCE.$

Từ đó suy ra $N$ là trung điểm $SC$ và $\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$