Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $9 - {x^2} \ne 0,$ $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne 3,\,\,x \ne - 3$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 3,\,\,x \ne - 3$.

b) Với $x \ne 3,\,\,x \ne - 3$, ta có:

$$P = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}$$

$$= \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}$$

$$= \frac{{3 - x}}{{x + 3}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}$$

$= \frac{{3 - x + 4x + 8}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 11}}{{x + 3}}$.

Vậy với $x \ne 3,\,\,x \ne - 3$ thì $P = \frac{{3x + 11}}{{x + 3}}.$

c) Ta có $\left| {x + 2} \right| = 1$ suy ra $x + 2 = 1$ hoặc $x + 2 = - 1$.

Do đó $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 3$ (không thỏa mãn điều kiện).

Thay $x = 1$ vào biểu thức $P,$ ta được:

$P = \frac{{3 \cdot 1 + 11}}{{1 + 3}} = \frac{{3 + 11}}{4} = \frac{7}{2}.$

Vậy $P = \frac{7}{2}$ khi $\left| {x + 2} \right| = 1$.

a) Công thức biểu thị số tiền $y$ (đồng) thu được khi bán $x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ thanh long ruột đỏ loại I là:

$$y = 32\,\,000x.$$

Khi đó $y$ là hàm số của $x$, vì với mỗi giá trị của $x$ chỉ xác định đúng một giá trị của $y$.

b) Số tiền thu được khi bán 8 kg thanh long ruột đỏ loại I là:

$32\,\,000 \cdot 8 = 256\,\,000$ (đồng).

Vậy số tiền thu được khi bán 8 kg thanh long ruột đỏ loại I là $256\,\,000$ đồng.

Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.

Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: $x - 10$ (tuổi).

Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: $\frac{{x - 10}}{3}$ (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: $x + 2$ (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: $\frac{{x + 2}}{2}$ (tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

$\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{x - 10}}{3} + 10 + 2$

$\frac{{x + 2}}{2} - \frac{{x - 10}}{3} = 12$
$\frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{6} - \frac{{2\left( {x - 10} \right)}}{6} = \frac{{72}}{6}$

$3\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 10} \right) = 72$

$3x + 6 - 2x + 20 = 72$

$3x + 6 - 2x + 20 = 72$

$x = 46$ (TMĐK).

Khi đó, số tuổi hiện nay của người thứ hai là: $\frac{{46 + 2}}{2} - 2 = 12$ (tuổi).

Vậy số tuổi hiện nay của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là 46 tuổi và 12 tuổi.

a) Có $5 + 3 + 4 + 2 = 14$ kết quả có thể xảy ra và các kết quả là đồng khả năng.

Vậy có 14 kết quả là đồng khả năng.

c) Số kết quả thuận lợi lấy được chiếc bút màu cam hoặc màu xanh là: $3 + 4 = 7.$

Xác suất của biến cố F là $P\left( F \right) = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}.$

a) Xét $\Delta FHB$ và $\Delta EHC$ có:

$\widehat {FHB} = \widehat {EHC}$; $\widehat {HFB} = \widehat {HEC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $\mathrm{ΔFHB}∽\ \mathrm{ΔEHC}$ (g.g).

b) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ có:

$\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)$

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $\mathrm{ΔAEB}∽\ \mathrm{ΔACF}\text{(g.g)}$

Suy ra $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $AF \cdot AB = AE \cdot AC$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao $BE,{\rm{ }}CF$ và cắt nhau tại $H$ nên suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AH \bot BC$. (1)

Xét $\Delta BEM$ vuông tại $E$ có $I$ là trung điểm của $BM$ nên $IE = BI = IM = \frac{{BM}}{2}$.

Xét $\Delta IEM$ có $IE = IM$ (cmt) nên tam giác $IEM$ cân tại $I$.

Suy ra $\widehat {IEM} = \widehat {IME}$. (2)

• Xét $\Delta ABC$ có $FE{\rm{ // }}BC$ suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {AMB}$ (hai góc đồng vị). (3)

Ta có $AF \cdot AB = AE \cdot AC$ suy ra $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}$.

• Xét $\Delta ABF$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\,\;\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó $\mathrm{ΔAEF}∽\ \mathrm{ΔABC}\text{(c.g.c)}$

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$ (hai góc tương ứng). (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\widehat {CED} = \widehat {ABC}$.

• Xét $\Delta CED$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat {ECD} = \widehat {BCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\widehat {CED} = \widehat {ABC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó $\mathrm{ΔCED}∽\ \mathrm{ΔCBA}\text{(c.g.c)}$

Suy ra $\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}$ hay $\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}$.

• Xét $\Delta CEB$ và $\Delta CDA$ có:

$\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {ECB} = \widehat {DCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)$

Do đó $\mathrm{ΔCEB}∽\ \mathrm{ΔCDA}\text{(c.g.c)}$

Suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {CEB}$ (hai góc tương ứng).

Nên $\widehat {CDA} = 90^\circ$, do đó $AD \bot BC$. (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm $A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D$ thẳng hàng (đpcm).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}$ suy ra $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$.

Do đó $AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3{,}7} \right)}^2} - {{\left( {1{,}2} \right)}^2}} = 3{,}5\,\,(m)$.

Ta có $\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3{,}5}}{{1{,}2}} \approx 2{,}9$.

Mà $2{,}9 > 2{,}2$ nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

Ta có $SE$ là trung đoạn nên $E$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta ABD$ có $E,\,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,BD.$

Suy ra $EH$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $EH = \frac{1}{2}AD = 5\,\,({\rm{cm)}}$.

Áp dụng định lí Pythagore $\Delta SEH$ vuông tại $H$ có: $S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}$

Suy ra $S{H^2} = S{E^2} - E{H^2} = {13^2} - {5^2}$

Do đó $SH = 12\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy chiều cao của hộp quà là 12 cm.

Hướng dẫn giải

Tổng số sản phẩm loại A và loại B là $10 + 7 = 17$ (sản phẩm).

Khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm:

Chọn sản phẩm thứ nhất chọn 1 trong 17 sản phẩm nên có 17 cách;

Chiếc sản phẩm thứ hai chọn $1$ trong 16 sản phẩm còn lại nên có 16 cách.

Số cách chọn 2 sản phẩm trong số 17 sản phẩm là: $\frac{{17.16}}{2} = 136$ (cách) (cứ mỗi cặp bị lặp lại 2 lần).

Có $\frac{{10.9}}{2} = 45$ cách chọn chỉ lấy ra 2 sản phẩm loại A.

Số kết quả thuận lợi của biến cố E là $136--45 = 91.$

Vậy xác suất của biến cố E là $\frac{{91}}{{136}}$.