Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) Bảng số liệu thống kê số học sinh mẫu giáo của nước ta như sau:

b) Trong giai đoạn từ năm 2016 đến năm 2022, năm 2022 có số học sinh mẫu giáo ít nhất.

Số học sinh mẫu giáo năm 2022 đó giảm $4327{,}7 - 3895{,}3 = 432{,}4$ (nghìn học sinh), tương ứng giảm $\frac{{432{,}4}}{{4327{,}7}}.100\% \approx 10\%$ so với năm 2021.

c) Trong 7 năm từ năm 2016 đến năm 2022, có 3 năm có số học sinh mẫu giáo nhiều hơn $4{,}4$ triệu học sinh (nhiều hơn $4\,400$ nghìn học sinh) là năm $2017;2018;2019$.

Xác suất để năm được chọn có số học sinh mẫu giáo nhiều hơn $4{,}4$ triệu học sinh là $\frac{3}{7}$.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$M = \left\{ {5;6;7;....;23;24} \right\}$.

Do đó, có 20 kết quả có thể xảy ra.

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $N$ là: $5;7;9;....;21;23.$

Do đó, có $\left( {23 - 5} \right):2 + 1 = 10$ kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $N$ là $\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}$.

c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $P$ là: $6;8;12;16;24$.

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $P$ là $\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.$

a) Diện tích phần còn lại của khu vườn là: $a\left( {a - 8} \right) - {b^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

b) Diện tích phần còn lại của khu vườn khi $a = 50{\rm{ m}}{\rm{, }}b = 10{\rm{ m}}$ là: $50\left( {50 - 8} \right) - {10^2} = 2{\rm{ }}000{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

$= \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

$= 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Bậc của đa thức $A\left( x \right)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A\left( x \right)$ là 2.

c) $B\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {2x + 11} \right) - 5x - 8$

0$= 2{x^3} + 11{x^2} + 2x + 11 - 5x - 8$

$= 2{x^3} + 11{x^2} - 3x + 3$

Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

$= 2{x^3} + 11{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

$= 2{x^3} + 11{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

$= - 2x$.

d) Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó $- 2x = 0$

Suy ra $x = 0$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x = 0$.

5.1.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A.$

Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ$.

Xét $\Delta ADC$ có $AC = DC$ nên $\Delta ADC$ cân tại $C$.

Suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {CAD} = x$.

Ta lại có $\widehat {BCA}$ là góc ngoài của $\Delta ADC$.

Suy ra $\widehat {BCA} = \widehat {CDA} + \widehat {CAB} = x + x = 2x$.

Do đó, $2x = 45^\circ$ nên $x = 22{,}5^\circ$.

5.2.

a) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta KCE$ có:

$\widehat {CAE} = \widehat {CKE} = 90^\circ$;

$EC$ là cạnh chung;

$\widehat {ACE} = \widehat {KCE}$ (do $CE$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$).

Do đó $\Delta ACE = \Delta KCE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $EA = EK$ và $CA = CK$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $CE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ nên $CE \bot AK$.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 30^\circ$.

Lại có $CE$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACE} = \widehat {KCE} = 30^\circ$.

$\Delta BCE$ có $\widehat {ABC} = \widehat {ECB} = 30^\circ$ nên là tam giác cân tại $E$.

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $EK$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay $K$ là trung điểm của $BC$.

Do đó $BK = KC$ và $BC = 2KC$

Mà $AC = KC$ (câu a) nên $BC = 2AC$.

Xét $\Delta BKE$ vuông tại $K$ có $BE$ là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó $BE > BK$ mà $BK = KC = AC$ nên $BE > AC$.

c) Giả sử hai đường thẳng $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $I$.

Xét $\Delta IBC$ có hai đường cao $BA,CD$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác.

Suy ra $IE \bot BC$.

Mà $EK \bot BC$ nên ba điểm $I,E,K$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $AC,EK,BD$ đồng quy.