Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ năm 1980 đến năm 1999 dân số nước ta tăng thêm số người là: $76 - 54 = 22$ (triệu đồng).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo nhận định trên, đội bóng B có khả năng thắng cao hơn. Do xác suất thua của đội A là $50\%$ thì xác suất thắng của đội B là $50\%$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu thức đại số biểu thị số tiền phải trả khi mua $8$ cái bánh giá $x$ nghìn đồng và $6$ cái kẹo giá $y$ nghìn đồng là $8x + 6y.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu thức đại số biểu thị: “Tổng hai số $a$ và $b$ nhân với hiệu hai số $a$ và $b$” là $\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $P\left( x \right) = {x^2} + 5x - 6 = {x^2} - x + 6x - 6 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)$.

$P\left( x \right) = 0$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0$.

Suy ra $x - 1 = 0$ hoặc $x + 6 = 0$.

Do đó, $x = 1$ hoặc $x = - 6.$

Vậy $P\left( x \right)$ có hai nghiệm 1 và $- 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay $x = - 1$ vào $D = {6^2} - {x^5} + {x^4} - {x^3} + 1$, ta được:

$D = {\left( { - 1} \right)^2} - {\left( { - 1} \right)^5} + {\left( { - 1} \right)^4} - {\left( { - 1} \right)^3} + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.

Vậy giá trị của $D = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $10{\rm{ cm}} > {\rm{8 cm}} > {\rm{7 cm}}$ nên $AC > AB > BC$.

Do đó, $\widehat B > \widehat C > \widehat A$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ, ta có: $AB = ED;BC = DF;CA = FE.$

Do đó, $\Delta ABC = \Delta EDF$ (c.c.c)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết $AB = 5{\rm{ cm, }}AC = 12{\rm{ cm}}$ nên $AB < AC < BC$.

Do đó, $\widehat C < \widehat B < \widehat A$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số đo góc ở đỉnh của tam giác cân này là: $180^\circ - 2.50^\circ = 80^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$O$ là giao của ba đường trung trực trong tam giác thì $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC.$

S

a) Do các học sinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 nên biến cố “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn 10” là biến cố ngẫu nhiên.

Đ

Các kết quả có thể xảy ra khi bạn được chọn có số thứ tự lẻ là: $1;3;5;7;9$.

Do đó, biến cố “bạn được chọn có số thứ tự lẻ” là biến cố ngẫu nhiên.

Đ

Các kết quả có thể xảy ra của biến cố “Số thứ tự của học sinh được chọn ra làm đội trưởng là số lớn hơn số thứ tự của Nam” là $9;10$.

Do đó, có 2 khả năng có thể xảy ra.

Vậy xác suất của biến cố trên là $\frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.$

S

Xác suất để bạn Nam có thể làm đội trưởng là $\frac{1}{{10}}.100 = 10\% .$

S

a) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta AEK$, ta có:

$\widehat {ACE} = \widehat {AKE} = 90^\circ$ (gt)

$CA = AK$ (gt)

$AE$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ACE = \Delta AKE$ (ch – cgv)

Đ

Do $\Delta ACE = \Delta AKE$ (ch – cgv) nên $\widehat {CAE} = \widehat {KAE}$ (hai góc tương ứng).

Do đó, $AE$ là phân giác của $\widehat {CAB}$.

S

Do $\Delta ACE = \Delta AKE$ (ch – cgv) nên $CE = EK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà xét tam giác $\Delta KEB$ vuông tại $K$ nên $BE > EK$.

Mà $EK = EC$ nên $EB > CE$.

Đ

Ta có $\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ$.

Lại có $AE$ là phân giác của $\widehat {CAB}$ nên $\widehat {EAK} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {EAK} = \widehat {CBA} = 30^\circ$.

Do đó, tam giác $AEB$ cân tại $E$.

Có $EK \bot AB$ nên $EK$ là đường cao, đường trung trực trong tam giác $EKB.$

Do đó, $K$ là trung điểm của $AB$

Suy ra $AK = \frac{1}{2}AB$ hay $AB = 2AK$.

Mà $AK = AC$ nên $AB = 2AC$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: $0{,}25$

Số trang được đánh số là các số chia hết cho 4 là: $\left( {320 - 4} \right):4 + 1 = 80$ (số)

Do đó, xác suất của biến cố “trang sách bạn An mở được là một số chia hết cho 4” là: $\frac{{80}}{{320}} = \frac{1}{4} = 0{,}25.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $- 1$

Ta có: $A = {x^4} - x{y^3} + {x^3}y - {y^4} - 1$

$A = {x^4} + {x^3}y - x{y^3} - {y^4} - 1$

$A = {x^3}\left( {x + y} \right) - {y^3}\left( {x + y} \right) - 1$

$A = \left( {x + y} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - 1$

Mà $x + y = 0$ nên $A = 0.\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - 1 = - 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $6$

Ta có $g\left( 0 \right) = 2$ nên ${2.0^2} + m.0 + n = 2$, do đó $n = 2$.

Lúc này, ta có $g\left( x \right) = 2{x^2} + mx + 2$

Lại có, đa thức $g\left( x \right)$ có nghiệm là $x = - 1$ nên $2.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 2 = 0$ hay $4 - m = 0$ nên $m = 4$.

Vậy $m + n = 4 + 2 = 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $80$

Vẽ $\Delta ABD$ đều ($B,D$ khác phía so với $AC$).

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A,$ $\widehat A = 40^\circ$ (gt)

Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 70^\circ$ mà $\widehat {FBC} = 30^\circ$ (gt)

Suy ra $\widehat {ABF} = 40^\circ$, $\widehat {BAF} = 40^\circ$ do đó $\Delta ABF$ cân tại $F.$

Suy ra $AF = BF$, mặt khác $AB = BD$, $FD$ chung

Do đó, $\Delta AFB = \Delta BFD$ (c.c.c) nên $\widehat {ADF} = \widehat {BDF} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Do $AH$ là đường cao của tam giác cân $BAC.$

Suy ra $\widehat {BAE} = 20^\circ = \widehat {FAD} = 60^\circ - 40^\circ$, $AB = AD$ (vì $\Delta ABD$ đều), $\widehat {ABE} = 30^\circ$ (gt)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta ADF$ (g.c.g)

Suy ra $AE = AF$, do đó $\Delta AEF$ cân tại $A$ mà $\widehat {EAF} = 20^\circ$.

Suy ra $\widehat {AEF} = \frac{{120^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ$.

a) Ta có: $M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + x\left( {{x^2} + 5} \right) + 14{x^4} - 6{x^5} - {x^3} + x - 1$

$M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + {x^3} + 5x + 14{x^4} - 6{x^5} - {x^3} + x - 1$

$M\left( x \right) = \left( { - 5{x^4} + 14{x^4}} \right) + \left( {3{x^5} - 6{x^5}} \right) + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5x + x} \right) - 1$

$M\left( x \right) = - 3{x^5} + 9{x^4} + 6x - 1$.

Có $N\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 5} \right) - 3{x^3} + 3x + 2{x^5} - 4{x^4} + 3{x^3} - 5$

$N\left( x \right) = {x^5} - 5{x^4} - 3{x^3} + 3x + 2{x^5} - 4{x^4} + 3{x^3} - 5$

$N\left( x \right) = \left( {{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 5{x^4} - 4{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^3} + 3{x^3}} \right) + 3x - 5$

$N\left( x \right) = 3{x^5} - 9{x^4} + 3x - 5$.

b) Ta có: $H\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = - 3{x^5} + 9{x^4} + 6x - 1 + 3{x^5} - 9{x^4} + 3x - 5$

$= \left( { - 3{x^5} + 3{x^5}} \right) + \left( {9{x^4} - 9{x^4}} \right) + \left( {6x + 3x} \right) - 1 - 5$

$= 9x - 6.$

Vậy $H\left( x \right) = 9x - 6.$

c) Thực hiện chia $N\left( x \right)$ cho $H\left( x \right)$, ta được:

$\begin{matrix} & 3{x}^{5} & -9{x}^{4} & +3x & -5 \\ \overline{} & 3{x}^{5} & -2{x}^{4} & & \\ & & -7{x}^{4} & +3x & -5 \\ & \overline{} & -7{x}^{4} & +\frac{14}{3}{x}^{3} & \\ & & -\frac{14}{3}{x}^{3} & +3x & -5 \\ & \overline{} & -\frac{14}{3}{x}^{3} & -\frac{28}{9}{x}^{2} & \\ & & -\frac{28}{9}{x}^{2} & +3x & -5 \\ & \overline{} & -\frac{28}{9}{x}^{2} & +\frac{56}{27}x & \\ & & & \frac{25}{27}x & -5 \\ & & \overline{} & \frac{25}{27}x & -\frac{50}{81} \\ & & & & -\frac{355}{81}\end{matrix}\begin{matrix}9x & -6 & & & \\ \frac{1}{3}{x}^{4} & -\frac{7}{9}{x}^{3} & -\frac{14}{27}{x}^{2} & -\frac{28}{81}x & +\frac{25}{243} \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

$\left( {3{x^5} - 9{x^4} + 3x - 5} \right):\left( {9x - 6} \right) = \frac{1}{3}{x^4} - \frac{7}{9}{x^3} - \frac{{14}}{{27}}{x^2} - \frac{{28}}{{81}}x + \frac{{25}}{{243}}$ và dư $- \frac{{355}}{{81}}.$

Vậy dư của phép chia $N\left( x \right)$ cho $H\left( x \right)$ là $- \frac{{355}}{{81}}.$

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (gt)

$AH$ chung

Do đó, $\Delta ABH = \Delta ACH$ (ch – cgv)

b) Xét $\Delta AGN$ và $\Delta CKN$, có:

$NK = NG$ (gt)

$AN = NC$ (gt)

$\widehat {ANG} = \widehat {KNC}$ (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta AGN = \Delta CKN$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AGN} = \widehat {CKN}$ (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong.

Suy ra $AG\parallel CK$ hay $AH\parallel CK$.

Lại có $AH \bot BC$ nên $CK \bot BC$.

c) Ta có $BN,AH$ là các đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Mà $BN$ và cạnh $AH$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Ta có $BK = BN + NK = 3GN + NK = 3GN + GN = 4GN$.

Mà theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, có $BC + KC > BK$.

Suy ra $4GN < BC + CK$. (1)

Có $\Delta AGN = \Delta CKN$ (câu b) nên $AG = CK$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta MAG$ và $\Delta NAG$ có:

$AM = AN = \frac{1}{2}AB$

$\widehat {MAG} = \widehat {NAG}$ ($AG$ vừa là trung tuyến, vừa là phân giác trong $\Delta ABC$ cân)

$AG$ chung

Do đó, $\Delta MAG = \Delta NAG$ (c.g.c)

Suy ra $MG = NG$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $4GN < BC + CK$ hay $4GM < BC + AG$ nên $GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)$ (đpcm).