Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Do đó $f\left( x \right) = 2{x^2} - x + 1$là tam thức bậc hai.

Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$ có $\Delta = 1$ nên $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = 1\,;\,\,x = 2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 3x + 2 < 0$ là $1 < x < 2$.

Bình phương hai vế của phương trình, ta có

$2{x^2} - 3x + 5 = {x^2} + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 3$ và $x = 0$ vào phương trình đã cho, ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy tập phương trình đã cho là $S = \left\{ {0\,;3} \right\}$.

Đường thẳng $d$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1; - 2} \right)$.

Vì $\Delta$ song song $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec n = \left( {1; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là: $1\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 9 = 0.$

Đường tròn tâm $I\left( {a\,;\,b} \right)$, bán kính $R$ có phương trình${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$

Do đó đường tròn $\left( C \right)$ đã cho có tâm và bán kính là $I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3.$

Đường hypebol có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > 0,\;b > 0$.

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là $\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Nếu đi bằng ô tô: có 8 cách.

Nếu đi bằng tàu hỏa: có 3 cách.

Nếu đi bằng máy bay: có 5 cách.

Nếu đi bằng tàu thủy: có 4 cách.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có: $8 + 3 + 5 + 4 = 20$ cách đi từ A đến B.

Ta có ${\left( {x + y} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{y^1} + C_5^2{x^3}{y^2} + C_5^3{x^2}{y^3} + C_5^4{x^1}{y^4} + C_5^5{y^5}$

$= {x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}\,.$

Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên $3$ bạn từ $35$ bạn trong lớp $10A$”.

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = \,C_{35}^3$.

Số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{12}^4$.

Gọi $A$ là biến cố: “$4$ quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu màu đỏ”.

Khi đó $\overline {\,A\,}$ là biến cố: “$4$ quả cầu lấy ra không quả cầu nào màu đỏ” $\Rightarrow n\left( A \right) = C_9^4$.

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline {\,A\,} } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline {\,A\,} } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{C_9^4}}{{C_{12}^4}} = \frac{{41}}{{55}}$.

a) Sai: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < 0$ là $\mathbb{R}\backslash \left[ {1;3} \right]$

b) Đúng: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \ge 0$là $S = \left[ {1;3} \right]$.

c) Sai: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) > 0$là $S = \left( {1;3} \right)$mà $x = 1 \notin \left( {1;3} \right)$.

d) Sai: Bất phương trình $f\left( x \right) < 2$ có tập nghiệm $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

a) Đúng: Ta có $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)$.

b) Sai: Độ dài trục thực $2a = 2\sqrt {16} = 8$.

c) Sai: Độ dài trục ảo $2b = 2\sqrt 9 = 6$.

d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên $\left( H \right)$đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8$.

a) Đúng: Trên giá sách có $4 + 5 + 6 = 15$ quyển sách.

Lấy $1$ quyển tùy ý từ $15$ quyển nên có 15 cách lấy.

b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có $4 + 5 = 9$ cách lấy.

c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.{\rm{6}} = 24$ cách lấy.

d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.5.{\rm{6}} = 120$ cách lấy.

Không gian mẫu là $C_{20}^5 = 15504$.

a) Đúng: Số cách chọn $5$ học sinh nữ từ $7$ học sinh nữ là $C_7^5 = 21$.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $5$ học sinh nữ là $\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}$.

b) Đúng: Để chọn đúng $3$ học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn $3$ nam và $2$ nữ.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $3$ nam và $2$ nữ là $\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}$.

c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là chọn được $5$ học sinh nam”

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là $\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}$.

d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp

Trường hợp 1: $3$ nữ $2$ nam

Trường hợp 2: $4$ nữ $1$ nam

Trường hợp 3: $5$ nữ

Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

$\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}$.

Trường hợp 2: Với $3A = - 4B$, chọn $A = 4 \Rightarrow B = - 3$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng ${\Delta _2}:4x - 3y - 18 = 0$.

Gọi $x\,\,\left( {0 < x < 10} \right)$ là chiều rộng của khu vườn.

Khi đó : Diện tích phần đất trồng rau là ${x^2}$ $\left( {{m^2}} \right)$

Diện tích hồ nuôi cá là $10x - {x^2}$ $\left( {{m^2}} \right)$

Theo giả thiết đề ra ta có bất phương trình: $60000{x^2} + 135000\left( {10x - {x^2}} \right) \le 5400000$

$\Leftrightarrow - 75000{x^2} + 1350000x - 5400000 \le 0$$\Leftrightarrow x \le 6$ (nhận) $\vee$ $x \ge 12$ (loại)$\Rightarrow 0 < x \le 6$

Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là $6m$.

Ta có: $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.$.

$f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)$

Do đó: $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$ $\Leftrightarrow$ $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)$ $\Leftrightarrow$ $m \le - 1 < 0 \le m + 3$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1$

Vậy $- 3 \le m \le - 1$$\Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}$ nên có $3$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25$.

Tứ giác$BCHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (vì $\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}$).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A.$ Ta có $\widehat {CAx} = \widehat {CBA} =$ sđ $\left( 1 \right)$

Mặt khác: $\widehat {CBA} = \widehat {AHK}$ (Vì tứ giác $BCHK$ nội tiếp) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {CAx} = \widehat {AHK}$. Vậy $HK//Ax$, nên $HK \bot AI$.

Đường thẳng $AI$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow {HK}$ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)$ (vì $A$có tung độ dương).

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và $K$ nên có phương trình: $2x + y + 3 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)$ (vì $B$ khác $A$).

Đường thẳng $AC$đi qua $A$ và $H$ nên có phương trình: $x + 3y - 6 = 0$.

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)$ (vì $C$ khác$A$).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính $BC$ bằng $\frac{{25}}{2} = 12{,}5$.

Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.8 = 56$ cách chọn một ô tô và một máy bay.

Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $8.10 = 80$ cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.

Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.10 = 70$ cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.

Vậy theo quy tắc cộng có $56 + 70 + 80 = 206$ cách mua hai món đồ chơi khác loại.

Cách 1.

Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có $C_{16}^4 = 1820$cách.

Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có $C_8^2 = 28$ cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)

Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có $C_8^4.2.2.2.2 = 1120$ cách

(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có $C_8^4$ cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)

Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là $1820 - 28 - 1120 = 672$ cách.

Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.

Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.

Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.

Trong 7 lớp còn lại có tất cả $C_{14}^2$ cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có $C_{14}^2 - 7 = 84$ cách chọn 2 học sinh không cùng lớp

Tương tự cho 7 trường hợp còn lại

Vậy có $8.1.84 = 672$ cách.

Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh từ $32$ đỉnh ta có $n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960$.

Đa giác đều có $32$ đỉnh sẽ có $16$ đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Mà cứ $2$ đường chéo sẽ tạo thành $1$ hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành $4$ tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là $4C_{16}^2 = 480$.

Mặt khác, trong số $C_{16}^2$ hình chữ nhật lại có $8$ hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là $4 \cdot 8 = 32$.

Gọi $X$ là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”$\Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448$.

Xác suất của biến cố $X$ là:

$P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113$.