Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Tam thức $y = {x^2} - 12x - 13$ nhận giá trị âm tức là

${x^2} - 12x - 13 < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 13} \right) < 0$$\Leftrightarrow - 1 < x < 13$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 4;3} \right);\,\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {12;5} \right)$

$\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 4.12 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = \frac{{33}}{{65}}$.

Ta có: ${a^2} = 5;\,\,{b^2} = 4$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{c^2} = 5 + 4 = 9 \Rightarrow c = 3\\a = \sqrt 5 ;\,b = 2\end{array} \right.$

Tâm sai của Hyperbol là $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$.

Chọn một cái quần có 5 cách chọn

Chọn một cái áo có 7 cách chọn

Theo quy tắc nhân có $5.7 = 35$ cách chọn

Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có ${2^5} = 32$.

Số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 32$.

Không gian mẫu là “tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5”

Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập $A$ là $A_7^4 + 6.4.A_6^3 = 3720$số.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là 3720.

Số cách bốc ngẫu nhiên 3 thẻ là: $C_{100}^3 = 161700$ (cách).

Số lớn nhất trong các số từ 1 đến 100 chia hết cho 3 là 99. Do đó trong 100 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 100 có $\frac{{99}}{3} = 33$ (thẻ) đánh số chia hết cho 3.

Trường hợp 1: Trong 3 thẻ được chọn có đúng 2 thẻ mang số chia hết cho 3.

Số cách chọn 2 thẻ mang số chia hết cho 3 là: $C_{33}^2$.

Số cách chọn 1 thẻ còn lại mang số không chia hết cho 3 là: $C_{67}^1$.

Vậy số cách bốc được 3 thẻ sao cho có đúng 2 thẻ mang số chia hết cho 3 là: $C_{33}^2.C_{67}^1 = 35376$.

Trường hợp 2: Cả 3 thẻ được chọn đều mang số chia hết cho 3.

Số cách chọn 3 thẻ từ 33 thẻ là $C_{33}^3 = 5456$.

Vậy số cách chọn 3 thẻ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $35376 + 5456 = 40832$ (cách).

Vậy xác suất cần tính là: $\frac{{40832}}{{161700}} = \frac{{928}}{{3675}}$.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có $0 < x < 30$.

Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: $40 + 2x$ (trái).

Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: $30 - x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: $\left( {40 + 2x} \right)\left( {30 - x} \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$ trên khoảng $\left( {0;30} \right)$.

Do hàm số có hệ số $a = - 2 < 0$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \frac{b}{{2a}} = 5$.

Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.

a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là $50$ trái.

b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá $25.000$ đồng.

c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$

d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa $45.000$ đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

a) Đúng: Tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2\sqrt 3$

b) Sai: Điểm $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ đối xứng với $M$ qua trục tung. Do đó $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: $M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3$ $\left( 1 \right)$

$M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}$ $\left( 2 \right)$

Giải hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình elip là: $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.4 = 16$ số có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.3 = 12$ số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.3 = 6$ số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.4 = 8$ số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử $n\left( \Omega \right) = C_{20}^3 = 1140$.

b) Sai: Gọi $A$là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^2.C_5^1 = 525$

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{525}}{{1140}} = \frac{{35}}{{76}}$.

c) Đúng: Gọi $B$là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn $\overline B$ là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng$\Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = C_{15}^3 = 455$

Xác suất của biến cố $\overline B$ là: $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{455}}{{1140}} = \frac{{91}}{{228}}$.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{91}}{{228}} = \frac{{137}}{{228}}$.

d) Sai: Gọi $C$là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.

Trường hợp 1: Chọn $1$ quả trắng, $2$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^1.C_5^2 = 150$ cách.

Trường hợp 2: Chọn $2$ quả trắng, $1$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^2.C_5^1 = 525$ cách.

$\Rightarrow n\left( C \right) = 150 + 525 = 675$cách.

Xác suất của biến cố $C$ là: $P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{675}}{{1140}} = \frac{{45}}{{76}}$.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\\h\left( 2 \right) = 5\\h\left( 4 \right) = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a{{\left( 0 \right)}^2} + b\left( 0 \right) + c = \frac{3}{2}}\\{a{{\left( 2 \right)}^2} + b\left( 2 \right) + c = 5}\\{a{{\left( 4 \right)}^2} + b\left( 4 \right) + c = \frac{9}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{c = \frac{3}{2}}\\{4a + 2b + c = 5}\\{16a + 4b + c = \frac{9}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - \frac{1}{2}}\\{b = \frac{{11}}{4}}\\{c = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$.

Suy ra: $h = - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{{11}}{4}t + \frac{3}{2}\;$. Khi $t = 5{,}5$ suy ra $h = 1{,}5$

Vậy sau $5{,}5$ giây thì quả bóng đạt độ cao $1{,}5$ mét so với mặt đất.

Bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $\Delta < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện nên có $2$ giá trị thỏa mãn.

Ta có ${\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0$

Khi đó, ${\Delta _m}$ luôn đi qua điểm cố định $M\left( {2;3} \right)$.

Gọi $d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}$ $\Rightarrow d \le AM$.

$\Rightarrow d$ lớn nhất khi $H \equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)$ và ${\Delta _m}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)$.

Đường thẳng $AM \bot {\Delta _m}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0$

$\Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau là $\overline {abcd} ;a \ne 0$.

Trường hợp 1: Số được lập có $4$ chữ số chẵn, có $4! = 24$ (số).

Trường hợp 2: Số được lập có $1$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: $A_4^3$ cách

Suy ra, có $5.4.A_4^3 = 480$ (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và $2$ chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: $A_5^2$ cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: $A_4^2$ cách

Suy ra, có $3.A_5^2.A_4^2 = 720$ (số).

Do đó, số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: $24 + 480 + 720 = 1224$.

Không gian mẫu$\Omega \Rightarrow$ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3$

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1 \cdot C_5^2 = 60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3 = 20$

Do đó $n\left( A \right) = 60 + 20 = 80 \Rightarrow$$P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49$

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = 10!$

Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có $4!$ (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có $A_6^2.A_4^2.A_2^2$ (cách)

$\Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2 = 17280$.

Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{17280}}{{10!}} = \frac{1}{{210}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 210\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 212$.