Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: D

Ta có ${P_n} = n!$.

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh để làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{10}^2$.

Đáp án đúng là: A

Số tập con có 4 phần tử của tập $A$ là $C_{12}^4$.

Đáp án đúng là: D

Khai triển ${\left( {x + 2} \right)^5}$ có 6 hạng tử.

Đáp án đúng là: C

Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.

Đáp án đúng là: A

Gieo một con xúc xắc có 6 mặt giống nhau và quan sát mặt nào xuất hiện không phải phép thử ngẫu nhiên.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j$.

Đáp án đúng là: D

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 3} \right),R = 2$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$là phương trình chính tắc của hypebol.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 12} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 4} \right)$.

Suy ra $3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 8} \right)$.

Gọi $E\left( {x;y} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {AE} = \left( {x - 2;y - 5} \right)$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 5 = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 3\end{array} \right.$. Vậy $E\left( { - 3; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Tâm $I$ của đường tròn $\left( C \right)$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $I\left( {2;3} \right)$.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)$.

b) Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)$.

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 4\\x = - 7\\y = - 1\end{array} \right.$.

Vậy hoành độ giao điểm là $- 7$.

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)$ nên nhận $\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng ngang để chụp ảnh có $7!$ cách.

b) Chọn 1 bạn nam có $C_4^1 = 4$ cách.

Chọn 1 bạn nữ có $C_3^1 = 3$ cách.

Do đó có $4.3 = 12$ cách chọn ra một cặp nam nữ của tổ I để tham gia hát song ca.

c) Có $A_7^3$ cách chọn ra 3 học sinh của tổ I để trực nhật lớp, trong đó 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.

d) Coi 3 bạn nữ là 1 nhóm thì có $3!$ cách xếp 3 bạn nữ trong nhóm.

Suy ra có $5!$ cách xếp 4 bạn nam và nhóm bạn nữ vào 5 vị trí.

Do đó có $3!.5! = 720$ cách xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng dọc sao cho 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 20

Số cách chọn một bộ quần áo của Bình là: $5.4 = 20$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 49

Hai thẻ lấy ra có tổng là một số chẵn khi 2 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn và 8 số lẻ.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $C_7^2 + C_8^2 = 49$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −0,5

Để $A \in \left( d \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{2} = 2 - 3t\\ - 2 = - 1 + 2t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 0{,}5\\t = - 0{,}5\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 0{,}5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2,83

Gọi $I$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$, $H$ là trung điểm của $MN$.

Suy ra $H\left( {4; - 1} \right)$, $\overrightarrow {MN} = \left( {0;4} \right) = 4\left( {0;1} \right)$.

Đường thẳng $IQ$ đi qua điểm $H\left( {4; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n \left( {0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$y + 1 = 0$.

Tọa độ điểm $Q$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 6y = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 1\end{array} \right.$. Do đó $Q\left( {6; - 1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MQ} = \left( {2;2} \right)$, $\overrightarrow {NQ} = \left( {2; - 2} \right)$.

Đường thẳng $IM$ đi qua $M\left( {4; - 3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {MQ}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$2\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + y - 1 = 0$.

Đường thẳng $IN$ đi qua $N\left( {4;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {NQ}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$2\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - y - 3 = 0$.

Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.$. Do đó $I\left( {2; - 1} \right)$.

Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \approx 2{,}83$.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự tăng dần ta được: 7; 8; 11; 13; 15; 18; 19; 20; 22.

Ta có ${Q_1} = \frac{{8 + 11}}{2} = 9{,}5$; ${Q_3} = \frac{{19 + 20}}{2} = 19{,}5$.

Suy ra ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 19{,}5 - 9{,}5 = 10$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $n \ge 2,n \in \mathbb{N}$.

Ta có $C_n^1 + C_n^2 = 15$$\Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15$$\Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 6\end{array} \right.$$\Rightarrow n = 5$.

Với $n = 5$ ta có ${\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.\frac{2}{{{x^4}}} + 10.{x^3}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + 5.x.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}$

$= {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}$.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển trên là $10$.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = C_{18}^3 = 816$.

Gọi C là biến cố: “Chọn được nhiều nhất hai viên bi xanh”.

Th1: Chọn 2 bi xanh và 1 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_5^2.C_{13}^1 = 130$ cách.

Th2: Chọn 1 bi xanh và 2 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_5^1.C_{13}^2 = 390$ cách.

Th3: Chọn 0 bi xanh và 3 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có $C_{13}^3 = 286$ cách.

Suy ra $n\left( C \right) = 130 + 390 + 286 = 806$.

Xác suất của biến cố $C$ là $P\left( C \right) = \frac{{806}}{{816}} = \frac{{403}}{{408}}$.