Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Bạn đó mua hoa ly có: $10$ sự lựa chọn.

Bạn đó mua hoa huệ có: $14$ sự lựa chọn.

Bạn đó mua hoa lan có: $6$ sự lựa chọn.

Vậy bạn đó có tất cả: $10 + 14 + 6 = 30$ sự lựa chọn để mua một bó hoa.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: $\overline x = \frac{{25 + 26 + 28 + 31 + 33 + 33 + 27}}{7} = 29$

Phương sai của mẫu số liệu là: ${s^2} = \frac{{{{\left( {25 - 29} \right)}^2} + {{\left( {26 - 29} \right)}^2} + {{\left( {28 - 29} \right)}^2} + {{\left( {31 - 29} \right)}^2} + {{\left( {33 - 29} \right)}^2} + {{\left( {33 - 29} \right)}^2} + {{\left( {27 - 29} \right)}^2}}}{7} = 9{,}43$

Độ lệch chuẩn cần tính là: $s \approx \sqrt {9{,}43} \approx 3{,}07$.

Gọi $I\left( {a;b} \right)$là tâm đườn tròn.

Do$I$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A\left( {0;5} \right),B\left( {3;4} \right),C( - 4;3)$nên

$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {\left( { - 4 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 0\\ - 2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.$

Vậy tâm $I\left( {0;0} \right)$.

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

Đường chuẩn $x + 1 = 0$ suy ra $\frac{p}{2} = 1$ $\Rightarrow 2p = 4$ $\Rightarrow {y^2} = 4x$.

Vậy ${y^2} = 4x$.

Không gian mẫu $C_{15}^2 = 105$.

Để tổng hai số là một số lẻ ta chọn 1 số lẻ và 1 số chẵn nên ta có $8.7 = 56$.

Xác suất cần tìm là $\frac{{56}}{{105}} = \frac{8}{{15}}$.

Tổ có tất cả $7 + 3 = 10$ người.

Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 10 người có $C_{10}^2$ cách $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Gọi biến cố $A$: “2 người được chọn có ít nhất một nữ”.

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 1 nam có $C_3^1.C_7^1 = 21$.

Trường hợp 2: Chọn 2 nữ có $C_3^2 = 3$.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 + C_3^2 = 21 + 3 = 24$.

Vậy xác suất để 2 người được Chọn Có ít nhất một nữ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{24}}{{45}} = \frac{8}{{15}}$.

a) Đúng: Trên giá sách có $4 + 5 + 6 = 15$ quyển sách.

Lấy $1$ quyển tùy ý từ $15$ quyển nên có 15 cách lấy.

b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có $4 + 5 = 9$ cách lấy.

c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.{\rm{6}} = 24$ cách lấy.

d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.5.{\rm{6}} = 120$ cách lấy.

a) Sai: Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline x = \frac{{20120 + 21315 + 23405 + 20120 + 37546}}{5} = 24501{,}2$

b) Đúng: Giá trị $20120$ có tần số xuất hiện nhiều nhất do đó mốt của mẫu số liệu là ${M_o} = 20120$

c) Đúng: Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm $20120\,\,\,20120\,\,\,21315\,\,\,23405\,\,\,37546$.Trung vị của mẫu số liệu là ${M_e} = 21315$

d) Đúng: Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Mỹ Đình. Khi đó sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm $20120\,\,\,20120\,\,\,21315\,\,\,23405\,\,\,$.

Mốt của mẫu số liệu là ${M_o} = 20120$

a) Đúng: Ta có $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)$.

b) Sai: Độ dài trục thực $2a = 2\sqrt {16} = 8$.

c) Sai: Độ dài trục ảo $2b = 2\sqrt 9 = 6$.

d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên $\left( H \right)$đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8$.

Không gian mẫu là $C_{20}^5 = 15504$.

a) Đúng: Số cách chọn $5$ học sinh nữ từ $7$ học sinh nữ là $C_7^5 = 21$.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $5$ học sinh nữ là $\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}$.

b) Đúng: Để chọn đúng $3$ học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn $3$ nam và $2$ nữ.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $3$ nam và $2$ nữ là $\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}$.

c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là chọn được $5$ học sinh nam”

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là $\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}$.

d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp

Trường hợp 1: $3$ nữ $2$ nam

Trường hợp 2: $4$ nữ $1$ nam

Trường hợp 3: $5$ nữ

Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

$\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}$.

Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.8 = 56$ cách chọn một ô tô và một máy bay.

Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $8.10 = 80$ cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.

Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.10 = 70$ cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.

Vậy theo quy tắc cộng có $56 + 70 + 80 = 206$ cách mua hai món đồ chơi khác loại.

Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:

$$7\;\;\;\;\,\,\,\;8\;\;\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;\;\;13\;\;\;\;\;\;\;15\;\;\;\;\;\;\;18\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;\;\;\;\;20\;\;\;\;\;\;\;22$$

Vì $n = 9$ là số lẻ nên ${Q_2}$ là giá trị ở chính giữa: ${Q_2} = 15$

Ta tìm ${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái ${Q_2}$:

$7\;\;\;\;\,\,\,\,\,\;8\;\;\;\;\;\;\;\;11\;\;\;\;\;\;\;13$.

và ta tìm được ${Q_1} = \left( {8 + 11} \right):2 = 9{,}5$.

Ta tìm ${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải ${Q_2}$:

$18\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;\;\;\;\;20\;\;\;\;\;\;\;22$.

và tìm được ${Q_3} = \left( {19 + 20} \right):2 = 19{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: ${\Delta _Q} = 19{,}5 - 9{,}5 = 10$.

Đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25$.

Tứ giác$BCHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (vì $\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}$).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A.$ Ta có $\widehat {CAx} = \widehat {CBA} =$ sđ $\left( 1 \right)$

Mặt khác: $\widehat {CBA} = \widehat {AHK}$ (Vì tứ giác $BCHK$ nội tiếp) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {CAx} = \widehat {AHK}$. Vậy $HK//Ax$, nên $HK \bot AI$.

Đường thẳng $AI$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow {HK}$ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)$ (vì $A$có tung độ dương).

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và $K$ nên có phương trình: $2x + y + 3 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)$ (vì $B$ khác $A$).

Đường thẳng $AC$đi qua $A$ và $H$ nên có phương trình: $x + 3y - 6 = 0$.

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)$ (vì $C$ khác$A$).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCHK$ có đường kính $BC$ bằng $\frac{{25}}{2} = 12{,}5$.

Cách 1.

Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có $C_{16}^4 = 1820$cách.

Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có $C_8^2 = 28$ cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)

Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có $C_8^4.2.2.2.2 = 1120$ cách

(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có $C_8^4$ cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)

Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là $1820 - 28 - 1120 = 672$ cách.

Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.

Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.

Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.

Trong 7 lớp còn lại có tất cả $C_{14}^2$ cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có $C_{14}^2 - 7 = 84$ cách chọn 2 học sinh không cùng lớp

Tương tự cho 7 trường hợp còn lại

Vậy có $8.1.84 = 672$ cách.

Xem 2 chữ số 1 là giống nhau, từ 5 số đó chọn lập được $5!$ số.

Nhưng thực tế hai chữ số 1 giống nhau nên có $\frac{{5!}}{{2!}} = 60$ số.

Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh từ $32$ đỉnh ta có $n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960$.

Đa giác đều có $32$ đỉnh sẽ có $16$ đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Mà cứ $2$ đường chéo sẽ tạo thành $1$ hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành $4$ tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là $4C_{16}^2 = 480$.

Mặt khác, trong số $C_{16}^2$ hình chữ nhật lại có $8$ hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là $4 \cdot 8 = 32$.

Gọi $X$ là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”$\Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448$.

Xác suất của biến cố $X$ là:

$P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113$.