Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Để có một phần quà tặng mẹ, học sinh đó cần thực hiện hai công đoạn:

Công đoạn 1: chọn 1 bông hoa hồng có $8$ cách.

Công đoạn 2: chọn 1 cái thiệp có $10$ cách.

Theo quy tắc nhân, học sinh đó có $8.10 = 80$ cách chọn một phần quà tặng mẹ.

Nhận thấy $P\left( x \right)$ có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của ${x^5}$ bằng 1 nên loại đáp án C và còn lại hai đáp án A và D thì chỉ có A phù hợp (vì khai triển số hạng cuối của đáp án A là $- {y^5}$).

Lời giải

$\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16 \Rightarrow d = 16$(hàng chục)$\Rightarrow$làm tròn số $a = 17658$ đến hàng trăm, kết quả là $17700$

Lời giải

Ta có công thức tính độ lệch chuẩn là $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {0{,}573} \approx 0{,}757$.

Lời giải

Khoảng tứ phân vị khi đó là: $p - m$

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1},\;\,\,{\Delta _2}\;$lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = (2;1),\overrightarrow {{n_2}} = (1;1).$

$$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$$

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ nên $R = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 8$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\2c = 2\sqrt 5 \\{b^2} = {a^2} - {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.$. Vậy elip có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1$.

Ta có số cách lấy ngẫu nhiên hai thẻ là $C_9^2 = 36$ $\Rightarrow$ $n\left( \Omega \right) = 36$.

Gọi $A$ là biến cố: “Tích nhận được là số chẵn”.

Trường hợp 1: Cả 2 thẻ đều ghi số chẵn. Số cách là: $C_4^2 = 6$.

Trường hợp 2: Một thẻ ghi số chẵn và một thẻ ghi số lẻ. Số cách là $C_4^1.C_5^1 = 20$.

$\Rightarrow$ $n\left( A \right) = 6 + 20 = 26$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{26}}{{36}} = \frac{{13}}{{18}}$.

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 25$.

Gọi $A$ là biến cố: “$2$thẻ rút ra đều ghi số lẻ”. Vì mỗi hộp có 3 thẻ ghi số lẻ nên $n\left( A \right) = 3.3 = 9$

Do đó: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{25}}$.

Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong hộp chứa $20$ chiếc thẻ nên $n\left( \Omega \right) = C_{20}^3$.

Xét biến cố $A$: “Rút được ít nhất $1$ thẻ mang số chia hết cho $5$”, có biến cố đối $\overline A$: “Rút được $3$ thẻ đều mang số không chia hết cho $5$”

Trong $20$ chiếc thẻ được đánh số từ $1$ đến 20 có $4$ thẻ ghi số chia hết cho $5$ và $16$ thẻ ghi số không chia hết cho $5$ nên $n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^3$. Vậy $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{16}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{28}}{{57}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{29}}{{57}}$

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.4 = 16$ số có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.3 = 12$ số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.3 = 6$ số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.4 = 8$ số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

a) Sai: Theo định nghĩa số đúng là $a = 5$.

b) Sai: Số gần đúng là: $\overline a = 5{,}2$.

c) Đúng: Độ chính xác là: $d = 0{,}2$.

d) Đúng: Giá trị của $\overline a$ nằm trong đoạn $\left[ {4{,}8;5{,}2} \right]$.

a) Đúng: Tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2\sqrt 3$

b) Sai: Điểm $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ đối xứng với $M$ qua trục tung. Do đó $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: $M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3$ $\left( 1 \right)$

$M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}$ $\left( 2 \right)$

Giải hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình elip là: $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử $n\left( \Omega \right) = C_{20}^3 = 1140$.

b) Sai: Gọi $A$là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^2.C_5^1 = 525$

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{525}}{{1140}} = \frac{{35}}{{76}}$.

c) Đúng: Gọi $B$là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn $\overline B$ là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng$\Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = C_{15}^3 = 455$

Xác suất của biến cố $\overline B$ là: $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{455}}{{1140}} = \frac{{91}}{{228}}$.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{91}}{{228}} = \frac{{137}}{{228}}$.

d) Sai: Gọi $C$là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.

Trường hợp 1: Chọn $1$ quả trắng, $2$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^1.C_5^2 = 150$ cách.

Trường hợp 2: Chọn $2$ quả trắng, $1$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^2.C_5^1 = 525$ cách.

$\Rightarrow n\left( C \right) = 150 + 525 = 675$cách.

Xác suất của biến cố $C$ là: $P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{675}}{{1140}} = \frac{{45}}{{76}}$.

Gọi tổng số vận động viên tham gia giải đấu là: $n\,\,(n \in \mathbb{N}*,n > 2)$.

Số vận động viên nam tham gia giải đấu là: $n - 2$.

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với nhau là: $2.C_{n\, - 2}^2 = 2.\frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 4} \right)!}} = (n - 2)(n - 3)$.

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là: $2.(n - 2).2 = 4(n - 2)$.

Theo đề bài ta có: $(n - 2)(n - 3) - 4(n - 2) = 66 \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 52 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 13\,\,\left( {t/m} \right)}\\{n = - \,4\,\,\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy có 13 vận động viên tham dự giải và có tất cả $2.C_{13}^2 = 156$ ván cờ.

Tổng số học sinh là $40$ học sinh nên dãy số liệu trên khi sắp xếp theo thứ tự không giảm là: $3$; $3$; $4$; $4$; $4$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $8$; $8$; $8$; $8$; $8$; $8$; $9$; $9$; $9$; $9$; $10$.

Vị trí thứ $20$ là $6$ và vị trí thứ $21$ trong dãy số liệu là $7$ nên trung vị là $\frac{{6 + 7}}{2} = 6{,}5$.

Ta có ${\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0$

Khi đó, ${\Delta _m}$ luôn đi qua điểm cố định $M\left( {2;3} \right)$.

Gọi $d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}$ $\Rightarrow d \le AM$.

$\Rightarrow d$ lớn nhất khi $H \equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)$ và ${\Delta _m}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)$.

Đường thẳng $AM \bot {\Delta _m}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0$

$\Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau là $\overline {abcd} ;a \ne 0$.

Trường hợp 1: Số được lập có $4$ chữ số chẵn, có $4! = 24$ (số).

Trường hợp 2: Số được lập có $1$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: $A_4^3$ cách

Suy ra, có $5.4.A_4^3 = 480$ (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và $2$ chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: $A_5^2$ cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: $A_4^2$ cách

Suy ra, có $3.A_5^2.A_4^2 = 720$ (số).

Do đó, số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: $24 + 480 + 720 = 1224$.

Không gian mẫu$\Omega \Rightarrow$ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3$

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1 \cdot C_5^2 = 60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3 = 20$

Do đó $n\left( A \right) = 60 + 20 = 80 \Rightarrow$$P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49$

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = 10!$. Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có $4!$ (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có $A_6^2.A_4^2.A_2^2$ (cách)

$\Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2 = 17280$.

Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{17280}}{{10!}} = \frac{1}{{210}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 210\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 212$.