Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Viết phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$ ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2 \ne 0,$ $b = \frac{1}{2} \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\ - 2x + y = 3\end{array} \right.$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$ và ${x^2} \ne 0$ khi $x \ne 0$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 3}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} = 2$ là $x \ne 1,{\rm{ }}x \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “$x$ không nhỏ hơn $- \frac{5}{2}$” được viết là $x \ge - \frac{5}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = x - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}}$ là $x - 1 > 0$ hay $x > 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}}$ là $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, do đó ${\sin ^2}45^\circ + {\cos ^2}45^\circ = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có $\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4 - 3 < 5 < 4 + 3$ hay $1 < OO' < 7$.

Do đó hai đường tròn này cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.

Do đó, chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

− Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

− Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

− Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Do đó, khẳng định B là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Gọi $x$ (ml) là thể tích dung dịch nước muối $1{,}5\%$ và $y$ (ml) là thể tích nước cất $0\%$ ($x,{\rm{ }}y > 0$).

Tổng thể tích dung dịch là $1{\rm{ 000 ml}}$ nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Tổng khối lượng muối trong dung dịch là $0{,}9\%$ của $1{\rm{ 000 ml}}$. Lượng muối trong dung dịch ban đầu là $1{,}5\% .x$ và trong nước cất là $0$.

Do đó ta có: $0{,}015x + 0y = 0{,}009.1\,\,000$ hay $0{,}015x = 9$ (2)

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}015x = 9\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải phương trình $0{,}015x = 9$ ta được $x = 600$ (thỏa mãn).

Thay $x = 600$ vào phương trình (1), được: $y = 1\,000 - 600 = 400$ (thỏa mãn).

Vậy Lan cần pha $600{\rm{ ml}}$ dung dịch nước muối $1{,}5\%$ và $400{\rm{ ml}}$ dung dịch nước cốt $0\%$ để được dung dịch mong muốn.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, ta có: $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}$O10-2024-GV154......... hay $AK = AD \cdot \tan 36^\circ$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},$ ta có $AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18{,}164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AH = AK + KH \approx 18{,}164 + 1{,}6 = 19{,}764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $AH$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $\Delta AFK$ vuông tại $K$, ta có: $\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18{,}164}}{{20}}$O10-2024-GV154........., do đó $\widehat {KFA} \approx 42^\circ .$

Vậy góc nâng từ $F$ đến nóc tòa nhà khoảng $42^\circ$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Điều kiện xác định: $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12$

$- 6x \cdot 2 = 12$

$- 12x = 12$

$x = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

$\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}$

$\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x$

$9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x$

$10x + 2 > 9x + 9$

$- x < - 7$

$x > 7$.

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $x > 7$.

Do đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,25

Điều kiện xác dịnh: $x \ge 0$.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Vậy $A = 0{,}25$ tại $x = 25.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8,38

Ta có $BC \bot OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$ nên $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Do đó $OB = AB.$

Mà $OA = OB$ nên $OA = OB = AB.$ Suy ra tam giác $OAB$ là tam giác đều.

Do đó $\widehat {AOB} = 60^\circ .$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {AOC} = 60^\circ .$

Ta có

Khi đó số đo cung lớn $BC$ bằng

Độ dài cung lớn $BC$ là: $l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8{,}38{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}$$

$= \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

Vậy với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta được $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

b) Ta có: $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}$.

Do đó, để $T \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{a + 1}}$ là số nguyên.

Suy ra $a + 1$ là Ư(4).

Vì điều kiện $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ nên ta có $a + 1 = 4$ suy ra $a = 3.$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Có $AP$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ nên $AP \bot AO$.

$MP$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$ nên $PM \bot MO$.

Tam giác $APO$ vuông tại $A$ nên ba điểm $A,\,P,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$. (1)

Tam giác $POM$ vuông tại $M$ nên ba điểm $M,\,P,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $A,\,P,\,M,\,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $PO$.

b) Trong $\left( O \right)$ có tam giác $AMB$ có $OA = OB = OM = \frac{1}{2}AB$ nên tam giác $AMB$ vuông tại $M$.

Do đó, $\widehat {AMB} = 90^\circ$ hay $AM \bot MB.$ (*)

Mà xét $\Delta PAO$ và $\Delta PMO$ có: $AO = OM = R$ và $PO$ chung.

Do đó, $\Delta PAO = \Delta PMO$ (ch – cgv).

Suy ra $PA = PM$ và $AO = AM$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $PO$ là đường trung trực của $AM$.

Suy ra $AM \bot PO$. (**)

Từ (*) và (**), có $PO\parallel NB$ nên $\widehat {AOP} = \widehat {OBN}$ (so le trong)

Xét $\Delta PAO$ và $\Delta NOB$ có:

$AO = OB = R$ (gt)

$\widehat {PAO} = \widehat {OBN}$ (so le trong)

Do đó, $\Delta PAO = \Delta NOB$ (cgv – gn)

Suy ra $PO = NB$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $OBNP$ có: $PO = NB$ và $PO\parallel NB$ nên $OBNP$ là hình bình hành.

Suy ra $PN\parallel OB$.

Mà $ON \bot OB$ nên $ON \bot PN$ do đó $\widehat {PNO} = 90^\circ$.

Có $\Delta MOA$ cân tại $O$ (vì $OA = OM$) nên $\widehat {OAM} = \widehat {AMO}$ (3).

Có $\widehat {AMO} = \widehat {PMN}$ (cùng phụ với $\widehat {AMP}$) (4)

Và $\widehat {MAO} = \widehat {PON}$ (cùng phụ với $\widehat {POA}$) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat {PMN} = \widehat {PON}$.

Mà $\widehat {PMN} = \widehat {MPO}$ (vì $MN\parallel PO$)

Suy ra $\widehat {OPM} = \widehat {PON}$ hay $\widehat {POI} = \widehat {IPO}$.

Vậy $\Delta OPI$ cân tại $I.$

c) Xét tứ giác $APNO$ có $\widehat {PAO} = \widehat {AON} = \widehat {PNO} = 90^\circ$

Suy ra $APNO$ là hình chữ nhật.

Mà $PO \cap AN = K$ nên $K$ là trung điểm của $PO.$

Xét $\Delta POI$ cân tại $I:$ có $K$ là trung điểm $PO$ nên $IK$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $IK \bot PO.$

Xét $\Delta JPO$ có $ON \bot PJ,\,\,PM \bot OJ,\,\,ON \cap PM = I$ nên $I$ là trực tâm của $\Delta JPO$.

Suy ra $IJ \bot PO$.

Từ đây suy ra $I,\,J,\,K$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của bể là $2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}$

Suy ra $2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85{,}72$

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}$ hay $2{x^3} = 108$, tức là $x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$