Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $2x - y = 3$ là một phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = 5\end{array} \right.$ có $\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{5}$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2$ là $x + 1 \ne 0$ và $x \ne 0$ hay $x \ne - 1;\,\,x \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trừ hai vế của bất đẳng thức $m > n$ cho 3, ta được $m - 3 > n - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {16} + \sqrt[3]{{ - 64}} = \sqrt {{4^2}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0$ và $\sqrt x - 3 \ne 0$.

Suy ra $\sqrt x \ne 3$ nên $x \ne 9.$

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ là $x \ge 0$và $x \ne 9$.

⦁ Biểu thức $\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ có điều kiện xác định là: $x \ge 0$ và $4 - x \ne 0$ hay $x \ge 0$ và $x \ne 4.$

⦁ Biểu thức $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

⦁ Biểu thức $2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 100$” được viết là $x \le - 100.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan \alpha = \cot \beta .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\cot \widehat {MNP} = \frac{{MN}}{{MP}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy, khi hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';R'} \right)$ thỏa mãn $R - R' < OO' < R + R'$ thì hai đường tròn này cắt nhau. Khi đó, hai đường tròn có 2 điểm chung.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y > x > 0$, km/h).

• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (2).

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) suy ra $BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ$

$BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý c) là sai.

• Với $AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$ suy ra $CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Chiều cao của tòa nhà là: $5 + 11{,}9 + 7 \approx 23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định: $x \ne 3,{\rm{ }}x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$- x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right) = - 4x$

$- {x^2} - x + 3x - {x^2} + 4x = 0$

$- 2{x^2} + 6x = 0$

$- 2x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$.

$x = 0$ (TM) hoặc $x = 3$ (loại).

Vậy $x = 0$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −4

Ta có: $\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$

$$\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}$$

$$4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)$$

$$16x + 36 + 6 \ge 6x - 3$$

$$16x + 42 \ge 6x - 3$$

$$16x - 6x \ge - 3 - 42$$

$$10x \ge - 45$$

$$x \ge - \frac{9}{2}.$$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge - \frac{9}{2}.$

Do đó, giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $- 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,25

Điều kiện xác dịnh: $x \ge 0$.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Vậy $A = 0{,}25$ tại $x = 25.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 62,8

Diện tích hình vành khuyên đó là: $S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62{,}8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$$

$$= \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]$$

$$= \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}$$

$= - 2\sqrt a$.

Vậy $A = - 2\sqrt a$ với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

b) Ta có: $\left| {a - 1} \right| = 1$ suy ra $a - 1 = 1$ hoặc $a - 1 = - 1$.

Suy ra $a = 2$ (thỏa mãn) hoặc $a = 0$ (loại).

Thay $a = 2$ vào $A = - 2\sqrt a$ được $A = - 2\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Ta có: $AB \bot OB$ (do $AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B)$ và $ON \bot OB$

Suy ra $ON\,{\rm{//}}\,AB$ hay $ON\,{\rm{//}}\,AM$. (1)

Tương tự, ta có: $OM\,{\rm{//}}\,AC$ hay $OM\,{\rm{//}}\,AN$. (2)

Xét tứ giác $AMON$ có $ON\,{\rm{//}}\,AM$ và $OM\,{\rm{//}}\,AN$ nên $AMON$ là hình bình hành.

Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay $AO$ là tia phân giác của $\widehat {MAN}$ (3)

Do đó hình bình hành $AMON$ là hình thoi.

c) Ta có: $\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {OAC} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ$.

Ta có $\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .$

Mà $\widehat {BOC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$ nên

Do đó số đo cung lớn $BC$ là:

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,\,\,OC$ và cung lớn $BC$ là

$S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn $AB$ là $x$ ($0 < x < 8$, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn $AB$ chính là chu vi hình vuông đó và bằng $4x$ (m).

Do đó, độ dài đoạn $BC$ là $8 - 4x$ (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn $BC$ là $\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Ta có: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2{\rm{ }}{m^2}$ khi $x - 1 = 0$ hay $x = 1.$

Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AB = 4{\rm{ m}}$và độ dài đoạn thẳng $BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}$ hay $B$ là trung điểm của đoạn $AC$.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau $AB = BC = 4{\rm{\;m}}.$