Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đâp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, phương trình $0x - 0y = 4$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x - 2y = 0$, ta được: $- 2 - 2.4 = - 10 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - 2y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $2x + y = 0$, ta được: $2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ là nghiệm của phương trình $2x + y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x - y = 2$, ta được: $- 2 - 4 = - 6 \ne 2.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - y = 2.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x + 2y + 1 = 0$, ta được: $- 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y + 1 = 0.$

Vậy chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $2x + 1 \ne 0$ khi $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x - 5 \ne 0$ khi $x \ne 5.$

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}$ là $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x \ne 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$ nên với $m$ bất kì thì $m - 3 > m - 4.$

Tương tự, ta có: $- 3 > - 5$ nên $m - 3 > m - 5;$

$- 3 < - 2$ nên $m - 3 < m - 2;$

$- 3 > - 6$ nên $m - 3 > m - 6.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của $\sqrt {16 - x}$ là $16 - x \ge 0$ hay $x \le 16.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta được:

$\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.$ Do đó, đáp án A là đúng.

$\sqrt {0{,}64} .\sqrt 9 = 0{,}8.3 = 2{,}4$. Do đó, đáp án B là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18.6 = 108.$ Do đó, đáp án C là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = 3.7 = 21 \ne - 21.$ Do đó, đáp án D là sai.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức biểu diễn căn thức bậc ba là $\sqrt[3]{{x + 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC = AB.\cot C.$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAH} = \widehat {CAB}$ (cùng phụ với $\widehat {BAH}$)

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $\cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\cot \widehat {ACH} = \frac{3}{4}$.

Vậy chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$ và $CO = \frac{1}{2}AB$ (do $AB$ là đường kính của đường tròn tâm $O)$ nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Do đó, $\widehat {ACB}$ là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ thì $d \bot OA$ tại $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy hai đường tròn cắt nhau thì $\left| {R - R'} \right| < OO' < R + R'$.

Biết hai đường tròn này cắt nhau nên $2{\rm{ cm}} < OO' < 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

• Gọi giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn lần lượt là $x,{\rm{ }}y$ (đồng). Điều kiện xác định $x > 0,{\rm{ }}y > 0.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Vì một quyển sách bồi dưỡng Toán và một quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn với tổng số tiền theo giá niêm yết là $270{\rm{ }}000$ đồng nên ta có phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$. Do đó, ý b) là đúng.

• Vì An mua vào lúc cửa hàng có chương trình giảm giá nên khi thanh toán quyển sách Toán được giảm giá $10\%$; quyển sách Ngữ Văn được giảm giá $20\%$ nên chỉ cần phải trả $228{\rm{ }}000$ đồng.

Do đó, ta có $\left( {100\% - 10\% } \right)x + \left( {100\% - 20\% } \right)y = 228{\rm{ }}000$ hay $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$.

Từ đây, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270{\rm{ }}000\\0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là đúng.

• Từ phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - x$.

Thay $y = 270{\rm{ }}000 - x$ vào $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$ ta được

$0{,}9x + 0{,}8\left( {270{\rm{ }}000 - x} \right) = 228{\rm{ }}000$

$0{,}9x + 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000 - 0{,}8x = 228{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 228{\rm{ }}000 - 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 12{\rm{ }}000$

$x = 120{\rm{ }}000$

Thay $x = 120{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - 120{\rm{ }}000 = 150{\rm{ }}000$ (đồng).

Vậy giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán là $120{\rm{ }}000$ đồng và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn là $150{\rm{ }}000$ đồng.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$. Do đó, ý a) là đúng.

• Vì $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ nên $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$ Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng $AB$. Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4$

$- 6x \cdot 2 = 4$

$- 12x = 4$

$x = - \frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −9

Ta có: $3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)$

$3x - 2x - 6 \le 3x + 12$

$x - 6 \le 3x + 12$

$3x - x \ge - 6 - 12$

$2x \ge - 18$

$x \ge - 9$.

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $- 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Điều kiện xác định $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn ĐKXĐ), ta có: $A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{{5 + 1}}{{5 - 3}} = \frac{6}{2} = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 20,8

Ta có: $M$ là trung điểm của $OC$ nên $OM = \frac{{OC}}{2} = 6$cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $MOA$ vuông tại $M,$ ta có: $M{O^2} + M{A^2} = O{A^2}$

Suy ra $M{A^2} = O{A^2} - O{M^2} = {12^2} - {6^2} = 108$

Do đó $MA = 6\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB)$ có $OM$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó $M$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó, ta có $AB = 2MA = 2 \cdot 6\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \approx {\rm{20{,}8 }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$, ta có:

$C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}$

$$= \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$$

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$ có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$

b) Ta có: $a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}$.

Thay vào $C,$ ta được:

$C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5$.

Vậy giá trị của $C = 9 - 4\sqrt 5$ tại $a = 9 - 4\sqrt 5 .$

a) Ta có: $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, suy ra $OA$ là đường phân giác của $\widehat {BOC}$ (tính chất) nên $\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$)

Do đó, $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$.

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta ACO$ có:

$\widehat {CMD} = \widehat {ACO} = 90^\circ$ và $\widehat {CDM} = \widehat {AOC}$ (do $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$)

Do đó (g.g).

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {EBF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\widehat {ABO} = \widehat {EBF} = 90^\circ$ nên $\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {EBO} + \widehat {OBF}$

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OBF}$.

Lại có: $\widehat {OBF} = \widehat {OFB}$ (vì $\Delta BOF$ cân tại $O$ do $OB = OF)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OFB}$ (1)

Mà $\widehat {ECB} = \widehat {OFB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ của đường tròn tâm $O$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {ABE}$. (3)

Mặt khác, $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ mà $E \in OA$, suy ra $EB = EC$.

Do đó $\Delta EBC$ cân tại $E$ nên $\widehat {ECB} = \widehat {EBC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {ABE}$ nên $BE$ là tia phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABH$.

Vậy $BE$ là phân giác của $\widehat {ABC}.$

c) Theo câu a, (g.g), suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {DCM} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Do đó, $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOC} = 120^\circ$ hay

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có: $\cos \widehat {HAC} = \frac{{AH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \frac{4}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Xét $\Delta AOC$ vuông tại $C$, có: $OC = AC.\tan \widehat {OAC} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\tan 30^\circ = \frac{8}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,OC$ và cung nhỏ $BC$ là:

$S = \frac{{\pi .{{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Gọi độ dài của đoạn $AE = x{\rm{ }}\left( {0 < x < 4} \right)$ (m), suy ra độ dài đoạn $EB = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

$AE = BH = GC = DF = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ và $BE = CH = GD = AF = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AEF$ vuông tại $A$, có:

$$A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}$$

$${x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = E{F^2}$$

$$2{x^2} - 8x + 16 = E{F^2}$$

Suy ra $EF = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên $FG = GH = HE = EF = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra, chu vi $EFGH$ là: $EF + FG + GH + HE = 4EF = 4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Để chu vi của tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất thì $4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}$ nhỏ nhất.

Với mọi $0 < x < 4,$ ta có:

$$2{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$$

$$2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8$$

$$\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8$$

$$4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 4\sqrt 8$$

$4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 8\sqrt 2$.

Do đó, chu vi của tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất bằng $8\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ khi $x - 2 = 0$ hay $x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $E$ bằng $2{\rm{ m}}$ thì tứ giác $EFGH$ có chu vi nhỏ nhất.