Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}$ là $x - 4 \ne 0$ và $x + 2 \ne 0$.

Suy ra $x \ne 4$ và $x \ne - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tích $3\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ trong đó $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right.$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- \frac{{10}}{3}$” được viết là $x \le - \frac{{10}}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với số $a$ bất kì có $a - 4 > a - 5.$

Hướng dẫn giải$\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}}$

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}}$ là $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ hay $\widehat B,\,\widehat C$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan B = \cot C.$

Vậy khẳng định D là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.

Do đó, chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4-3<5<4+3$ hay $1<O{O}^{'}<7$

Do đó hai đường tròn này cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Chi phí ăn uống của mỗi người trong một ngày là $60\,000 + 60\,000 + 30\,000 = 150\,000$ (đồng).

Do đó, ý a) là đúng.

• Gọi $x$ là số bạn học sinh có thể tham gia $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$.

Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có $x$ bạn tham gia là $150\,000x + 17\,000\,000$ (đồng).

Do đó, ý b) là đúng.

• Vì số tiền nhà tài trợ dự kiến là $30$ triệu đồng nên ta có bất phương trình:

$150\,000x + 17\,000\,000 \le 30\,000\,000$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

$150\,000x + 17\,000\,000 \le 30\,000\,000$

$x \le \frac{{260}}{3} \approx 86{,}7$

Vậy có thể tổ chức cho nhiều nhất cho $86$ bạn tham gia.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (2).

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) suy ra $BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ$

$BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý c) là sai.

• Với $AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$ suy ra $CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Chiều cao của tòa nhà là: $5 + 11{,}9 + 7 \approx 23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 5

Điều kiện xác định: $x \ne 1;\,\,x \ne 3$.

Ta có: $\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1$

$\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)$

${x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3$

${x^2} - 6x + 13 = {x^2} - 4x + 3$

${x^2} - 6x - {x^2} + 4x = 3 - 13$

$- 2x = - 10$

$x = - 5$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 35

Gọi vận tốc của hai xe đi từ $A$ và $B$ lần lượt là $x,\,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Điều kiện $y > 5,\,x > 0.$

Theo đề, hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm $A,\,\,B$ cách nhau $130\,\,{\rm{km}}$và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có $2x + 2y = 130$ (1)

Mà xe đi từ $B$ có vận tốc nhanh hơn xe đi từ $A$ là $5{\rm{ km/h}}$ nên $y - x = 5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 130\\y - x = 5\end{array} \right.$.

Từ (2) có $y = 5 + x$ thay vào (1) được: $2x + 2\left( {5 + x} \right) = 130$.

Suy ra $4x = 120$ nên $x = 30$ (thỏa mãn).

Do đó, $y = 30 + 5 = 35$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc xe đi từ $A$ có vận tốc 30 km/h, xe đi từ $B$ có vận tốc 35 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −4

Ta có: $\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$

$$\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}$$

$$4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)$$

$$16x + 36 + 6 \ge 6x - 3$$

$$16x + 42 \ge 6x - 3$$

$$16x - 6x \ge - 3 - 42$$

$$10x \ge - 45$$

$$x \ge - \frac{9}{2}.$$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge - \frac{9}{2}.$

Do đó, giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $- 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 62,8

Diện tích hình vành khuyên đó là: $S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62{,}8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$$

$$= \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]$$

$$= \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}$$

$= - 2\sqrt a$.

Vậy $A = - 2\sqrt a$ với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

b) Ta có: $\left| {a - 1} \right| = 1$ suy ra $a - 1 = 1$ hoặc $a - 1 = - 1$.

Suy ra $a = 2$ (thỏa mãn) hoặc $a = 0$ (loại).

Thay $a = 2$ vào $A = - 2\sqrt a$ được $A = - 2\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AM.$ Khi đó $AI = MI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AHM$ vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $HI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AKM$ vuông tại $K$ có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $KI = \frac{1}{2}AM.$

Do đó $AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM$ nên bốn điểm $A,H,M,K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I,$ đường kính $AM$.

Hay $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( I \right)$ đi qua ba điểm $A,\,\,H,\,\,K.$

b) Gọi $N$ là giao điểm của $HI$ và đường tròn tâm $I$ đường kính $AM.$

Suy ra $\widehat {HKN} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\Delta HKN$ vuông tại $K$

Ta có $HK = HN.\sin \widehat {HNK}$

Mà $HN = AM$ (cùng là đường kính của đường tròn tâm $I$)

Và $\widehat {HNK} = \widehat {HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$ của đường tròn tâm $I$)

Suy ra $HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.$

c) Ta có $\Delta ABC$ cố định nên $\sin \widehat {BAC}$ không đổi

Do đó từ $HK = AM.\sin \widehat {BAC}$, để $HK$ dài nhất thì $AM$ dài nhất mà $AM$ là dây của đường tròn $\left( O \right)$

Nên $AM$ dài nhất khi $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$

Do đó $M$ đối xứng với $A$ qua $\left( O \right)$.

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao $h$ và chiều rộng đáy $y$ bằng $4$ nên $h = 4y$.

Thể tích chiếc hộp $3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}$ nên $xyh = 3{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)$ hay $4x{y^2} = 3$, suy ra $x = \frac{3}{{4{y^2}}}$.

Do chiếc hộp không nắp, do đó diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung quanh của hộp.

Ta có: $S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}} \cdot y + 2 \cdot 4y \cdot \left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)$

$= \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}$.

Do $y$ là chiều rộng của hộp nên $y > 0$.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta được:

$\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}} \cdot \frac{{27}}{{8y}} \cdot 8{y^2}}}$, suy ra $S \ge \frac{{27}}{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}$, hay ${y^3} = \frac{{27}}{{64}}$ nên $y = \frac{3}{4}$ (dm).

Do đó, $x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)$.

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là $\frac{{27}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ khi chiều dài $x = \frac{4}{3}$ dm.