Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}$ là $x - 4 \ne 0$ và $x + 2 \ne 0$.

Suy ra $x \ne 4$ và $x \ne - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các điều kiện xác định của các đáp án, nhận thấy:

• Điều kiện xác định của $\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x + 3}}$ là $x \ne - 1$ và $x \ne - 3$.

• Điều kiện xác định của $\frac{5}{{x - 1}} = \frac{2}{{x - 3}}$ là $x \ne 1$ và $x \ne 3$.

• Điều kiện xác định của $\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 2$ là $x \ne 1$.

• Điều kiện xác định của $\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x - 3}}$ là $x \ne - 1$ và $x \ne 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ có dạng $ax + by = 0$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $5x + y = 7$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right.$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta viết bất phương trình $\frac{x}{2} + 1 > 0$ về dạng $\frac{1}{2}x + 1 > 0,$ đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ với $a = \frac{1}{2} \ne 0$ và $b = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $a > b$ nên $a + \left( { - 3} \right) > b + \left( { - 3} \right)$ hay $a - 3 > b - 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: $2x + 3 \ge 0$ suy ra $x \ge \frac{{ - 3}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi số $a$, ta luôn có: $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khẳng định sai là: “Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu $\alpha$ là góc nhọn thì $\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính lần lượt là $R$ và $r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).$ Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức $S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\left( {0 \le x \le 12,x \in \mathbb{N}} \right)$.

Số câu trả lời sai là $12 - x$ (câu).

Do đó, ý a) là đúng.

• Số điểm nhận được khi trả lời đúng $x$ câu là: $5x$ (điểm).

Số điểm bị trừ khi trả lời sai $12 - x$ (câu) là: $2\left( {12 - x} \right)$ (điểm).

Tổng số điểm đạt được khi trả lời hết 12 câu hỏi là: $2 + 5x + 2\left( {12 - x} \right)$ (điểm).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, thí sinh đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo nên ta có bất phương trình sau:

$20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

$20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50$

$20 + 5x - 24 + 2x \ge 50$

$7x - 4 \ge 50$

$7x \ge 54$

$x \ge \frac{{54}}{7}\,\,\left( { \approx 7{,}714} \right)$.

Mà $x \in \mathbb{N}$ và cần tìm giá trị $x$ nhỏ nhất nên $x = 8.$

Vậy thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng ít nhất 8 câu.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

• Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ nên $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}$

Suy ra $CH = AH \cdot \tan 43^\circ .$

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}$ (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

$AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)$

Do đó$_{,}$ý c) là sai.

• Do đó, $CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84{,}66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84{,}66{\rm{ m}}$.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định: $x \ne - 1;\,\,x \ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$2\left( {x - 2} \right) + x + 1 = 3$

$2x - 4 + x + 1 = 3$

$3x = 6$

$x = 2$ (không thỏa mãn).

Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 20

Gọi giá tiền của một kilogram xoài và một kilogram vải lần lượt là $x,\,y$ (nghìn đồng).

Điều kiện: $x,\,y > 0.$

Theo đề, An dự định mua $2{\rm{ kg}}$ xoài và $2{\rm{ kg}}$ vải hết $100$ nghìn đồng nên có $2x + 2y = 100$ (1)

Thực tế, An đã mua $3{\rm{ kg}}$ xoài và $1{\rm{ kg}}$ vải hết 90 nghìn đồng nên $3x + y = 90$ (2)

Từ (1) và (2), có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 100\\3x + y = 90\end{array} \right.$

Từ (2) có $y = 90 - 3x$ thế vào (1) ta được: $2x + 2\left( {90 - 3x} \right) = 100$ hay $2x - 6x + 180 = 100$.

Suy ra $4x = 80$ nên $x = 20$ (thỏa mãn).

Do đó, $y = 90 - 3 \cdot 20 = 90 - 60 = 30$ (thỏa mãn).

Vậy giá tiền một kilogram xoài là 20 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −9

Ta có: $3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)$

$3x - 2x - 6 \le 3x + 12$

$x - 6 \le 3x + 12$

$3x - x \ge - 6 - 12$

$2x \ge - 18$

$x \ge - 9$.

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $- 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,35

Bán kính của đường tròn lớn là: $90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Bán kính của đường tròn nhỏ là: $60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là $45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}$ và bằng:

$S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534{,}29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0{,}35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Với $a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9$, ta có:

$A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9$ ta được $P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

b) Ta có: $A + \left| A \right| = 0$ suy ra $\left| A \right| = - A$.

Do đó, $A \le 0$ hay $\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0$ suy ra $\sqrt a - 2 < 0$ do đó $\sqrt a < 2$.

Suy ra $0 \le a < 4$.

Vậy $0 \le a < 4$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)$

Do đó đường tròn $\left( O \right)$ và đường tròn $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $B.$

Xét $\Delta ODE$ cân tại $O$ (do $OD = OE)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm của $DE$.

Mà $H$ lại là trung điểm của $AC$, do đó tứ giác $ADCE$ là hình bình hành.

Mặt khác, $AC \bot DE$ nên hình bình hành $ADCE$ là hình thoi.

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BE \bot AE$ tại $E$.

Mà $AE\,{\rm{//}}\,CD$ (do $ADCE$ là hình thoi) nên $EB \bot CD$.

Xét đường tròn $\left( {O'} \right)$ đường kính $BC$ ta có $\widehat {BFC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BF \bot CD$ tại $F$.

Ta có $EB \bot CD$ và $FB \bot CD$ suy ra $EB$ và $FB$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Tam giác $FDE$ vuông tại $F$ có $FH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.$

Do đó $\Delta HFD$ cân tại $H$, do đó $\widehat {HFD} = \widehat {HDC}$.

Mặt khác, $O'FC$ cân tại $O'$ (do $O'F = O'C$) nên $\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}$

Mà $\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ$ (tam giác $HCD$ vuông tại $H$)

Nên $\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ta có $HF \bot O'F$ tại $F$ và $F$ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$ nên $HF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Vậy $HF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ máy $\left( {x > 0,\,x \in \mathbb{N}} \right)$.

Trong một giờ số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng).

Như vậy, số giờ để sản xuất $8\,000$ quả bóng tennis là $\frac{{8\,000}}{{30x}}$ giờ.

Mỗi giờ phải trả $192\,000$đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

$B = 200\,000x + \frac{{8\,000}}{{30x}} \cdot 192\,000 = 200\,000x + \frac{{51\,200\,000}}{x}$ (đồng)

Với hai số không âm $a$ và $b$ ta có ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ suy ra $a + b \ge 2\sqrt {ab}$.

Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương $200\,000x$ và $\frac{{51\,200\,000}}{x}$, ta được:

$200\,000x + \,\frac{{51\,200\,000}}{x} \ge 2\sqrt {200\,000x \cdot \frac{{51\,200\,000}}{x}} = 6\,400\,000$

Dấu “=” xảy ra khi $200\,000x = \frac{{51\,200\,000}}{x}$ hay ${x^2} = 256$ suy ra $x = 16$ (do $x > 0,\,x \in \mathbb{N}$)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.