Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $2x + 1 \ne 0$ khi $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x - 5 \ne 0$ khi $x \ne 5.$

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}$ là $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x \ne 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tích $\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0$, ta giải hai phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$.

Do đó, phương trình $\left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) = 0$ là phương trình tích.

Đâp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, phương trình $0x - 0y = 8$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\x + 2y = 3\end{array} \right.$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “$n$ không nhỏ hơn $\frac{9}{4}$” là $n \ge \frac{9}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$ nên với $m$ bất kì thì $m - 3 > m - 4.$

Tương tự, ta có: $- 3 > - 5$ nên $m - 3 > m - 5;$

$- 3 < - 2$ nên $m - 3 < m - 2;$

$- 3 > - 6$ nên $m - 3 > m - 6.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của $\sqrt {16 - x}$ là $16 - x \ge 0$ hay $x \le 16.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức biểu diễn căn thức bậc ba là $\sqrt[3]{{x + 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC = AB.\cot C.$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAH} = \widehat {CBA}$ (cùng phụ với $\widehat {HBA}$)

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $\cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\cot \widehat {CAH} = \frac{3}{4}$.

Vậy chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$ và $CO = \frac{1}{2}AB$ (do $AB$ là đường kính của đường tròn tâm $O)$ nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Do đó, $\widehat {ACB}$ là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy $R + R' = 6 + 4 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hai đường tròn cắt nhau khi $\left| {R - R'} \right| < OO' < R + R'$.

Do đó, hai đường tròn cắt nhau khi $2{\rm{ cm}} < OO' < 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Đổi $5{,}25$ tấn = $5\,\,250$ kg.

Gọi $x$ là số thùng bia mà xe có thể chở ($x \in {\mathbb{N}^ * }$, đơn vị: thùng).

Khối lượng của $x$ thùng bia là $6{,}7x$ (kg).

Do đó, ý a) là đúng.

• Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: $6{,}7x + 65$ (kg).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5{,}25$ tấn nên ta có bất phương trình: $65 + 6{,}7x \le 5\,\,250$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

$65 + 6{,}7x \le 5\,\,250$

$6{,}7x \le 5\,\,185$

$x \le \frac{{51\,\,850}}{{67}}\,\,\,\left( { \approx 773{,}88} \right)$.

Mà $x \in {\mathbb{N}^ * }$ và cần tìm $x$ có giá trị lớn nhất nên $x = 773.$

Vậy xe có thể chở được tối đa $773$ thùng bia.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$. Do đó, ý a) là đúng.

• Vì $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ nên $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$ Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng $AB$. Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −7

Điều kiện xác định: $x \ne - 5$.

Ta có: $\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2$

$$\frac{{x + 6}}{{x + 5}} = \frac{1}{2}$$

$$2\left( {x + 6} \right) = x + 5$$

$$2x + 12 = x + 5$$

$$2x - x = 5 - 12$$

$x = - 7$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 7$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 16

Gọi $x,y$ (tấn) lần lượt là khối lượng quặng chứa $75\%$ sắt và $50\%$ sắt ($x,y > 0$).

Theo đề, tổng khối lượng quặng là $25$ tấn nên ta có: $x + y = 25$. (1)

Khối lượng sắt trong $25$ tấn quặng chứa $66\%$ sắt là: $25 \cdot 66\% = 16{,}5$ (tấn).

Khối lượng sắt trong $x$ (tấn) quặng chứa $75\%$ sắt là: $x \cdot 75\% = 0{,}75x$ (tấn).

Khối lượng sắt trong $y$ (tấn) quặng chứa $50\%$ sắt là: $y \cdot 50\% = 0{,}50y$ (tấn).

Do đó, ta có phương trình: $0{,}75x + 0{,}5y = 16{,}5$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0{,}75x + 0{,}5y = 16{,}5\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Từ phương trình (1), suy ra $y = 25 - x$.

Thay $y = 25 - x$ vào phương trình (2) ta được:

$0{,}75x + 0{,}5\left( {25 - x} \right) = 16{,}5$

$0{,}75x + 12{,}5 - 0{,}5x = 16{,}5$

$0{,}25x = 4$

$x = 16$ (thỏa mãn).

Thay $x = 16$ vào phương trình $y = 25 - x$, ta được $y = 9$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn 16 tấn quặng chứa $75\%$ sắt và 9 tấn quặng chứa $50\%$ sắt để được $25$ tấn quặng chứa $66\%$ sắt.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −6

Ta có: $3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 5\left( {x + 4} \right)$

$3x - 6 - 2x \le 5x + 20$

$x - 6 \le 5x + 20$

$5x - x \ge - 6 - 20$

$4x \ge - 26$

$x \ge \frac{{ - 13}}{2}$.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 13}}{2}$.

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn bất phương trình là $- 6$.

Đáp án: 20,8

Ta có: $M$ là trung điểm của $OC$ nên $OM = \frac{{OC}}{2} = 6$cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $MOA$ vuông tại $M,$ ta có: $M{O^2} + M{A^2} = O{A^2}$

Suy ra $M{A^2} = O{A^2} - O{M^2} = {12^2} - {6^2} = 108$.

Do đó $MA = 6\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB)$ có $OM$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó $M$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó, ta có $AB = 2MA = 2 \cdot 6\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \approx {\rm{20{,}8 }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$, ta có:

$C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}$

$$= \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$$

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$ có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$

b) Ta có: $a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}$.

Thay vào $C,$ ta được:

$C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5$.

Vậy giá trị của $C = 9 - 4\sqrt 5$ tại $a = 9 - 4\sqrt 5 .$

a) Ta có: $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, suy ra $OA$ là đường phân giác của $\widehat {BOC}$ (tính chất) nên $\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$)

Do đó, $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$.

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta ACO$ có:

$\widehat {CMD} = \widehat {ACO} = 90^\circ$ và $\widehat {CDM} = \widehat {AOC}$ (do $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$)

Do đó (g.g).

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {EBF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\widehat {ABO} = \widehat {EBF} = 90^\circ$ nên $\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {EBO} + \widehat {OBF}$

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OBF}$.

Lại có: $\widehat {OBF} = \widehat {OFB}$ (vì $\Delta BOF$ cân tại $O$ do $OB = OF)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OFB}$ (1)

Mà $\widehat {ECB} = \widehat {OFB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ của đường tròn tâm $O$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {ABE}$. (3)

Mặt khác, $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ mà $E \in OA$, suy ra $EB = EC$.

Do đó $\Delta EBC$ cân tại $E$ nên $\widehat {ECB} = \widehat {EBC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {ABE}$ nên $BE$ là tia phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABH$.

Vậy $BE$ là phân giác của $\widehat {ABC}.$

c) Theo câu a, (g.g), suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {DCM} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Do đó, $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOC} = 120^\circ$ hay

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có: $\cos \widehat {HAC} = \frac{{AH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \frac{4}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Xét $\Delta AOC$ vuông tại $C$, có: $OC = AC.\tan \widehat {OAC} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\tan 30^\circ = \frac{8}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,OC$ và cung nhỏ $BC$ là:

$S = \frac{{\pi .{{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Gọi độ dài của đoạn $AE = x{\rm{ }}\left( {0 < x < 4} \right)$ (m), suy ra độ dài đoạn $EB = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

$AE = BH = GC = DF = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ và $BE = CH = GD = AF = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AEF$ vuông tại $A$, có:

$$A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}$$

$${x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = E{F^2}$$

$$2{x^2} - 8x + 16 = E{F^2}$$

Suy ra $EF = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên $FG = GH = HE = EF = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra, chu vi $EFGH$ là: $EF + FG + GH + HE = 4EF = 4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Để chu vi của tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất thì $4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}$ nhỏ nhất.

Với mọi $0 < x < 4,$ ta có:

$$2{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$$

$$2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8$$

$$\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8$$

$$4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 4\sqrt 8$$

$4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 8\sqrt 2$.

Do đó, chu vi của tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất bằng $8\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ khi $x - 2 = 0$ hay $x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $E$ bằng $2{\rm{ m}}$ thì tứ giác $EFGH$ có chu vi nhỏ nhất.