Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0$ và $\sqrt x - 3 \ne 0$.

Suy ra $\sqrt x \ne 3$ nên $x \ne 9.$

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ là $x \ge 0$và $x \ne 9$.

⦁ Biểu thức $\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ có điều kiện xác định là: $x \ge 0$ và $4 - x \ne 0$ hay $x \ge 0$ và $x \ne 4.$

⦁ Biểu thức $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

⦁ Biểu thức $2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $2x - y = 3$ là một phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = 5\end{array} \right.$ có $\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{5}$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “$n$ nhỏ hơn $\frac{3}{5}$” là $n < \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $a < b$ nên $- 2a > - 2b.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,\,\,B > 0$.

Do đó, chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta được:

$\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.$ Do đó, đáp án A là đúng.

$\sqrt {0{,}64} \cdot \sqrt 9 = 0{,}8 \cdot 3 = 2{,}4$. Do đó, đáp án B là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18 \cdot 6 = 108.$ Do đó, đáp án C là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{7^2}} = 3 \cdot 7 = 21 \ne - 21.$ Do đó, đáp án D là sai.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 1} \right)}^3}}}$ là $\mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $AB = BC \cdot \cos B.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan \alpha = \cot \beta .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ thì $d \bot OA$ tại $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho hai đường tròn $\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)$ và $\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)$ tiếp xúc ngoài thì $OO' = 2 + 5 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y > x > 0$, km/h).

• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272{,}22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt $1{,}65{\rm{ m}}$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$272{,}22 - 1{,}65 = 270{,}57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $270{,}57{\rm{ m}}$.

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $E$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $EA$.

Xét tam giác vuông $EAD$, ta có:

$$EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$$

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $93{,}26 - 48 = 45{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau $45{,}26{\rm{ m}}$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định: $x \ne 3,{\rm{ }}x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$- x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right) = - 4x$

$- {x^2} - x + 3x - {x^2} + 4x = 0$

$- 2{x^2} + 6x = 0$

$- 2x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$.

$x = 0$ (TM) hoặc $x = 3$ (loại).

Vậy $x = 0$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

$\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}$

$\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x$

$9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x$

$- x < - 7$

$x > 7$.

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $x > 7$.

Do đó, phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Điều kiện xác định: $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$.

Thay $x = 0{,}25$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}$, ta được:

$Q = \frac{{\sqrt {0{,}25} + 2}}{{3 - \sqrt {0{,}25} }} = \frac{{0{,}5 + 2}}{{3 - 0{,}5}} = \frac{{2{,}5}}{{ - 2{,}5}} = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8,38

Ta có $BC \bot OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$ nên $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Do đó $OB = AB.$

Mà $OA = OB$ nên $OA = OB = AB.$ Suy ra tam giác $OAB$ là tam giác đều.

Do đó $\widehat {AOB} = 60^\circ .$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {AOC} = 60^\circ .$

Ta có

Khi đó số đo cung lớn $BC$ bằng

Độ dài cung lớn $BC$ là: $l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8{,}38{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$, ta có:

$C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}$

$$= \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$$

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$ có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$

b) Ta có: $a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}$.

Thay vào $C,$ ta được:

$C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5$.

Vậy giá trị của $C = 9 - 4\sqrt 5$ tại $a = 9 - 4\sqrt 5 .$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường cao của $\Delta OBC.$ Suy ra $OK \bot BC$ hay $OD \bot BC$.

Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB,$ có $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ .$

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại $C$.

b) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường phân giác của $\Delta OBC.$ Do đó $\widehat {BOD} = \widehat {COD}.$

Xét $\Delta CDO$ và $\Delta BDO$ có:

$OD$ là cạnh chung; $\widehat {BOD} = \widehat {COD}$; $OB = OC$

Do đó $\Delta CDO = \Delta BDO$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Như vậy, $OC \bot DC$ tại $C$ thuộc $\left( O \right)$ hay $DC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $BC,\,\,AE.$

Ta có: $IC \bot AB$ và $AF \bot AB$, suy ra $IC\,{\rm{//}}\,AF$ hay $IC\,{\rm{//}}\,EF$.

Xét $\Delta BEF$, có: $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (1)

Xét $\Delta BAE$, có: $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}$, mà $IC = IH$ (do $I$ là trung điểm của $CH)$ nên $EF = EA$ hay $E$ là trung điểm của $AF.$

Ta có $\widehat {FCA} = 90^\circ$ (cùng bù với $\widehat {ACB} = 90^\circ$) nên $\Delta FCA$ vuông tại $C$.

Xét $\Delta ACF$ vuông tại $C,$ có $CE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AF$ nên $CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.$

Xét $\Delta CEO$ và $\Delta AEO$, có:

$CE = AE$, $OC = OA$ và $OE$ là cạnh chung

Do đó $\Delta CEO = \Delta AEO$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ hay $\widehat {ECD} = 180^\circ$.

Vậy ba điểm $E,C,D$ thẳng hàng.

Coi các sân đó là hình vuông $ABCD$, phần lát gạch đỏ trang trí là hình vuông $MNPQ$.

Ta chứng minh được $\Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP$ (c.c.c)

Diện tích hình vuông $MNPQ$ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở bốn góc hình vuông $ABCD$ là lớn nhất.

Gọi $S = {S_{AMQ}} + {S_{BNM}} + {S_{CPN}} + {S_{DQP}} = 4{S_{AMQ}} = 4 \cdot \frac{1}{2}AM \cdot AQ = 2 \cdot AM \cdot AQ$

Mà $AM + AQ = AM + MB = 16\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Lại có ${\left( {AM - MB} \right)^2} \ge 0$

Suy ra $A{M^2} + M{B^2} \ge 2MA \cdot MB$

Do đó, $A{M^2} + 2MA \cdot MB + M{B^2} \ge 4MA \cdot MB$

$${\left( {MA + MB} \right)^2} \ge 4MA \cdot MB$$

Suy ra $2MA \cdot MB \le \frac{{{{\left( {MA + MB} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{16}^2}}}{2} = 128$ hay $S \le 128$.

Dấu “=” xảy ra khi $MA = MB = \frac{{AB}}{2} = 8{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Khi đó, $M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,BC,\,CD,\,DA.$

Vậy khi $M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,BC,\,CD,\,DA$ thì diện tích hình vuông $MNPQ$ nhỏ nhất.