Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2$ là $x + 1 \ne 0$ và $x \ne 0$ hay $x \ne - 1;\,\,x \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $0x + 0y = 4$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 0$ và $b = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.$ không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 100$” được viết là $x \le - 100.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $m > n$ nên $m + \left( { - 3} \right) > n + \left( { - 3} \right)$ hay $m - 3 > n - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 5;$ $\sqrt {{5^2}} = 5;$

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} = \left| { - 5} \right| = 5;$ $- {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = - 5.$

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của biểu thức $A = \sqrt {1 - 2x}$ là $1 - 2x \ge 0$ hay $x \le \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt[3]{{{{\left( {5 - x} \right)}^3}}} = 5 - x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có

$\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \,;\,\,\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha ;$

$$\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \,;\,\,\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha .$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $N$, có: $NP = MP \cdot \cos P.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {O;\,\,d} \right) = 3 < R$, do đó đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( {O;\,\,4\,{\rm{cm}}} \right)$ cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

• Gọi giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn lần lượt là $x,{\rm{ }}y$ (đồng). Điều kiện xác định $x > 0,{\rm{ }}y > 0.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Vì một quyển sách bồi dưỡng Toán và một quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn với tổng số tiền theo giá niêm yết là $270{\rm{ }}000$ đồng nên ta có phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$. Do đó, ý b) là đúng.

• Vì An mua vào lúc cửa hàng có chương trình giảm giá nên khi thanh toán quyển sách Toán được giảm giá $10\%$; quyển sách Ngữ Văn được giảm giá $20\%$ nên chỉ cần phải trả $228{\rm{ }}000$ đồng.

Do đó, ta có $\left( {100\% - 10\% } \right)x + \left( {100\% - 20\% } \right)y = 228{\rm{ }}000$ hay $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$.

Từ đây, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270{\rm{ }}000\\0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là đúng.

• Từ phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - x$.

Thay $y = 270{\rm{ }}000 - x$ vào $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$ ta được

$0{,}9x + 0{,}8\left( {270{\rm{ }}000 - x} \right) = 228{\rm{ }}000$

$0{,}9x + 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000 - 0{,}8x = 228{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 228{\rm{ }}000 - 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 12{\rm{ }}000$

$x = 120{\rm{ }}000$

Thay $x = 120{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - 120{\rm{ }}000 = 150{\rm{ }}000$ (đồng).

Vậy giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán là $120{\rm{ }}000$ đồng và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn là $150{\rm{ }}000$ đồng.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, ta có: $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}$O10-2024-GV154......... hay $AK = AD \cdot \tan 36^\circ$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},$ ta có $AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18{,}164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AH = AK + KH \approx 18{,}164 + 1{,}6 = 19{,}764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $AH$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $\Delta AFK$ vuông tại $K$, ta có: $\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18{,}164}}{{20}}$O10-2024-GV154........., do đó $\widehat {KFA} \approx 42^\circ .$

Vậy góc nâng từ $F$ đến nóc tòa nhà khoảng $42^\circ$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Điều kiện xác định: $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12$

$- 6x \cdot 2 = 12$

$- 12x = 12$

$x = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −6

Ta có: $3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 5\left( {x + 4} \right)$

$3x - 6 - 2x \le 5x + 20$

$x - 6 \le 5x + 20$

$5x - x \ge - 6 - 20$

$4x \ge - 26$

$x \ge \frac{{ - 13}}{2}$.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 13}}{2}$.

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn bất phương trình là $- 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Điều kiện xác định $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn ĐKXĐ), ta có: $A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{{5 + 1}}{{5 - 3}} = \frac{6}{2} = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 20,8

Ta có: $M$ là trung điểm của $OC$ nên $OM = \frac{{OC}}{2} = 6$cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $MOA$ vuông tại $M,$ ta có: $M{O^2} + M{A^2} = O{A^2}$

Suy ra $M{A^2} = O{A^2} - O{M^2} = {12^2} - {6^2} = 108$

Do đó $MA = 6\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB)$ có $OM$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó $M$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó, ta có $AB = 2MA = 2 \cdot 6\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \approx {\rm{20{,}8 }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}$$

$= \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

Vậy với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta được $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

b) Ta có: $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}$.

Do đó, để $T \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{a + 1}}$ là số nguyên.

Suy ra $a + 1$ là Ư(4).

Vì điều kiện $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ nên ta có $a + 1 = 4$ suy ra $a = 3.$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần tìm.

a) Ta có: $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, suy ra $OA$ là đường phân giác của $\widehat {BOC}$ (tính chất) nên $\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$)

Do đó, $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$.

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta ACO$ có:

$\widehat {CMD} = \widehat {ACO} = 90^\circ$ và $\widehat {CDM} = \widehat {AOC}$ (do $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$)

Do đó (g.g).

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {EBF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\widehat {ABO} = \widehat {EBF} = 90^\circ$ nên $\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {EBO} + \widehat {OBF}$

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OBF}$.

Lại có: $\widehat {OBF} = \widehat {OFB}$ (vì $\Delta BOF$ cân tại $O$ do $OB = OF)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OFB}$ (1)

Mà $\widehat {ECB} = \widehat {OFB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ của đường tròn tâm $O$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {ABE}$. (3)

Mặt khác, $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ mà $E \in OA$, suy ra $EB = EC$.

Do đó $\Delta EBC$ cân tại $E$ nên $\widehat {ECB} = \widehat {EBC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {ABE}$ nên $BE$ là tia phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABH$.

Vậy $BE$ là phân giác của $\widehat {ABC}.$

c) Theo câu a, (g.g), suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {DCM} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Do đó, $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOC} = 120^\circ$ hay

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có: $\cos \widehat {HAC} = \frac{{AH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \frac{4}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Xét $\Delta AOC$ vuông tại $C$, có: $OC = AC.\tan \widehat {OAC} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\tan 30^\circ = \frac{8}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,OC$ và cung nhỏ $BC$ là:

$S = \frac{{\pi .{{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: $50.30 = 1500{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: $50 - 2x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: $30 - 2x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Diện tích xung quanh của hộp là: $2x\left( {50 - 2x + 30 - 2x} \right) = 2x\left( {80 - 4x} \right) = - 8{x^2} + 160x{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì $- 8{x^2} + 160x$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $- 8{x^2} + 160x = - 8\left( {{x^2} - 20x + 100} \right) + 800 = - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800$

Với mọi $x > 0,$ ta có: $- 8{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0$ nên $- 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800 \le 800$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 10 = 0$ hay $x = 10$.

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là $800{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = 10{\rm{ cm}}$.