Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các điều kiện xác định của các đáp án, nhận thấy:

• Điều kiện xác định của $\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x + 3}}$ là $x \ne - 1$ và $x \ne - 3$.

• Điều kiện xác định của $\frac{5}{{x - 1}} = \frac{2}{{x - 3}}$ là $x \ne 1$ và $x \ne 3$.

• Điều kiện xác định của $\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 2$ là $x \ne 1$.

• Điều kiện xác định của $\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x - 3}}$ là $x \ne - 1$ và $x \ne 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ có dạng $ax + by = 0$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $5x + y = 7$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right.$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta viết bất phương trình $\frac{x}{2} + 1 > 0$ về dạng $\frac{1}{2}x + 1 > 0,$ đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ với $a = \frac{1}{2} \ne 0$ và $b = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $a > b$ nên $a + \left( { - 3} \right) > b + \left( { - 3} \right)$ hay $a - 3 > b - 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi số $a$, ta luôn có: $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: $2x + 3 \ge 0$ suy ra $x \ge \frac{{ - 3}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của $\sqrt[3]{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}$ là $\mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khẳng định sai là: “Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu $\alpha$ là góc nhọn thì $\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính lần lượt là $R$ và $r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).$ Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức $S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

Gọi $x$ là số học sinh của lớp 9A, $y$ là số học sinh của lớp 9B $\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$.

• Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình $x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Do đó, ý a) là đúng.

• Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A ${\rm{8 kg}}$ giấy báo cũ nên ta có phương trình:

$2y + 9 - 2x - 9 = 8$ suy ra $2y - 2x = 8$ hay $y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là đúng.

• Cộng theo vế hai phương trình ta được $2y = 90$, suy ra $y = 45$ (TM).

Thay $y = 45$ vào phương trình (1), ta được $x + 45 = 86$, suy ra $x = 41$ (TM).

Vậy lớp 9A có $41$ học sinh, lớp 9B có $45$ học sinh.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

• Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ nên $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}$

Suy ra $CH = AH \cdot \tan 43^\circ .$

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}$ (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

$AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)$

Do đó$_{,}$ý c) là sai.

• Do đó, $CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84{,}66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84{,}66{\rm{ m}}$.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Điều kiện xác định: $x \ne 2,{\rm{ }}x \ne - 2$.

Ta có: $\frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{{x^2} - 4}}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 4x + 24$

${x^2} + 5x + 6 - {x^2} + x + 2 = {x^2} - 4x + 24$

$6x + 8 - {x^2} + 4x - 24 = 0$

$- {x^2} + 10x - 16 = 0$

${x^2} - 10x + 16 = 0$

${x^2} - 2x - 8x + 16 = 0$

$x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$

Do đó, $x - 2 = 0$ hoặc $x - 8 = 0$

Suy ra $x = 2$ (loại) hoặc $x = 8$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 8$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −9

Ta có: $3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)$

$3x - 2x - 6 \le 3x + 12$

$x - 6 \le 3x + 12$

$3x - x \ge - 6 - 12$

$2x \ge - 18$

$x \ge - 9$.

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $- 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,15

Điều kiện xác định: $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1$.

Thay $x = \frac{1}{{25}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{25}}} \left( {\sqrt {\frac{1}{{25}}} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt {\frac{1}{{25}}} } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5}}}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{6}{{25}}:\frac{8}{5} = \frac{3}{{20}} = 0{,}15$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,35

Bán kính của đường tròn lớn là: $90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Bán kính của đường tròn nhỏ là: $60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là $45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}$ và bằng:

$S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534{,}29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0{,}35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Với $a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9$, ta có:

$A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9$ ta được $P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

b) Ta có: $A + \left| A \right| = 0$ suy ra $\left| A \right| = - A$.

Do đó, $A \le 0$ hay $\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0$ suy ra $\sqrt a - 2 < 0$ do đó $\sqrt a < 2$.

Suy ra $0 \le a < 4$.

Vậy $0 \le a < 4$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AM.$ Khi đó $AI = MI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AHM$ vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $HI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AKM$ vuông tại $K$ có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $KI = \frac{1}{2}AM.$

Do đó $AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM$ nên bốn điểm $A,H,M,K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I,$ đường kính $AM$.

Hay $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( I \right)$ đi qua ba điểm $A,\,\,H,\,\,K.$

b) Gọi $N$ là giao điểm của $HI$ và đường tròn tâm $I$ đường kính $AM.$

Suy ra $\widehat {HKN} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\Delta HKN$ vuông tại $K$

Ta có $HK = HN.\sin \widehat {HNK}$

Mà $HN = AM$ (cùng là đường kính của đường tròn tâm $I$)

Và $\widehat {HNK} = \widehat {HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$ của đường tròn tâm $I$)

Suy ra $HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.$

c) Ta có $\Delta ABC$ cố định nên $\sin \widehat {BAC}$ không đổi

Do đó từ $HK = AM.\sin \widehat {BAC}$, để $HK$ dài nhất thì $AM$ dài nhất mà $AM$ là dây của đường tròn $\left( O \right)$

Nên $AM$ dài nhất khi $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$

Do đó $M$ đối xứng với $A$ qua $\left( O \right)$.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là $x$ và $y$ ($0 < x < 150;\,\,0 < y < 150$).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là $300$ mét, suy ra $x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Diện tích của mảnh đất là $S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

⦁ Chứng minh bổ đề: $\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy$ với mọi $x > 0,\,\,y > 0.$

Thật vậy, với mọi $x > 0,\,\,y > 0,$ ta có:

$${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$$

$${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$$

$${x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0$$

$${\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0$$

$\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy$.

Đẳng thức xảy ra khi $x = y.$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

$$S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}$$

Suy ra $S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625$.

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \frac{{150}}{2} = 75$ (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất $S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh $75{\rm{ m}}$ để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.