Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Có ba đa thức là: ${x^2} + {y^2};$ $2\,\,025;$ $\frac{x}{2} + xyz.$

Các biểu thức $\frac{3}{x} + y;$ $\frac{x}{y} + \frac{1}{5}x$ không phải đa thức do có chứa biến ở dưới mẫu.

Biểu thức $4 + x\sqrt {yz}$ không phải đa thức do có chứa biến ở dưới dấu căn bậc hai.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( { - x - 3} \right)^2} = {\left[ { - \left( {x + 3} \right)} \right]^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}.$

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}$ không phải phân thức vì $\frac{1}{{x - y}}$ không phải là đa thức.

Đáp án đúng là: A

Thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là $a$ và độ dài đường cao là $b$ là:

$V = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot b = \frac{1}{3}{a^2}b$ (đvtt).

Xét tam giác $ABC$ ta có:

$A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$; $A{C^2} = 100$.

Ta thấy $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} = 100$.

Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (định lí Pythagore đảo).

• Hình 1 có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.

• Hình 2 có 3 góc vuông và hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình vuông.

• Hình 3 có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường chéo này vuông góc với nhau nên là hình thoi.

• Hình 4 có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Vậy trong các hình đã cho, Hình 2 là hình vuông.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào biểu đồ, ta thấy Châu Mỹ chiếm $28\%$ tổng diện tích của cả sáu châu lục đó.

Tỉ lệ phần trăm mực nước cao nhất của sông Đà tại trạm Hòa Bình năm 2021 so với năm 2019 là:

$$\frac{{1{\rm{ }}273}}{{1{\rm{ }}380}}.100\% \approx 92{,}25\%$$

Do đó, năm 2021 mực nước cao nhất của sông Đà tại trạm Hòa Bình đã giảm $100\% - 92{,}25\% = 7{,}75\%$ so với năm 2019.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai.

d) Đúng.

⦁ Ta có $A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy$.

Đa thức $A$ có bậc là 8. Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta có $B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}$

$$= 12{x^4}{y^5}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) - 36{x^5}{y^4}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) + 6{x^3}{y^3}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right)$$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy$.

Khi đó, hệ số tự do của đa thức $B$ là 0. Do đó ý b) sai.

⦁ Thay $x = - 1\,;\,\,y = 1$ vào biểu thức $B$, ta có:

$B = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {1^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 2 + 6 - 1 = 7$.

Vậy với $x = - 1\,;\,\,y = 1$ thì $B = 7$. Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có $A = M + B$

Suy ra $M = A - B$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - \left( {2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy} \right)$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - 2{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - xy$

$= \left( {2{x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3}} \right) + \left( { - 6{x^3}{y^2} + 6{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2xy - xy} \right)$$= xy.$

Như vậy, $M$ là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

⦁ Giả sử $AI$ cắt $BC$ ở $H$.

Ta có: $\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = 180^\circ$, mà $\widehat {DAB} = 90^\circ$ (do $\Delta DAB$ vuông cân tại $A$).

Suy ra $\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = 90^\circ$. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có $\widehat {DAI} = \widehat {ABC}$ (gt) nên $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$.

Trong $\Delta ABH$ có: $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {AHB} = 180^\circ \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ hay $AI \bot BC$. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có $\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ$ và $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ$.

Do đó $\widehat {BAE} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta DAC$ có:

$AB = AD;\,\,\widehat {BAE} = \widehat {DAC};\,\,AC = AE$;

Do đó $\Delta BAE = \Delta DAC$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {CDA}$ (hai góc tương ứng). Do đó ý c) đúng.

⦁ Tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$ nên $AK$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ$.

Khi đó $\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = 45^\circ$ nên $\Delta ABK$ vuông cân tại $K$, do đó $KA = KB$. Do đó ý d) sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 5.

Ta có $4{x^2} - 20x + 5a$

$$= {\left( {2x} \right)^2} - 2 \cdot 2x \cdot 5 + {5^2} + 5a - 25$$

$= {\left( {2x - 5} \right)^2} + 5a - 25$.

Để $4{x^2} - 20x + 5a$ là bình phương của một hiệu thì $5a - 25 = 0$ hay $a = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Với $x \ne \frac{3}{2};$ $x \ne \frac{1}{5};$ $x \ne - \frac{1}{5}$ ta có:

$U = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}} - \frac{{8 - 3x}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}$

$= \frac{{x + 2}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}} - \frac{{8 - 3x}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}}$$= \frac{{4x - 6}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}} = \frac{2}{{5x - 1}}.$

Vậy với $x \ne \frac{3}{2}\,;\,\,x \ne \frac{1}{5}\,;\,\,x \ne - \frac{1}{5},$ sau khi rút gọn biểu thức $U$ ta được phân thức có tử thức bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 45.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}$

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp $S.ABC$là $45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 80.

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$ (tổng các góc của một tứ giác).

Vì tứ giác $ABCD$ có số đo các góc $\widehat A\,,\,\,\widehat B\,,\,\,\widehat C\,,\,\,\widehat D$ tỉ lệ thuận với $4;\,\,3;\,\,5;\,\,6$ nên $\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat D}}{6}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat D}}{6} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D}}{{4 + 3 + 5 + 6}} = \frac{{360^\circ }}{{18}} = 20^\circ$.

Do đó $\widehat A = 20^\circ \cdot 4 = 80^\circ .$

Hướng dẫn giải

a) Từ biểu đồ cột kép, ta hoàn thành được bảng thống kê như sau:

b) Ta thấy trị giá xuất khẩu hàng hóa của quý I/2021 lớn hơn trị giá xuất khẩu hàng hóa của quý I/2020 (vì $78{,}56 > 63{,}4\,).$

Do đó, giá trị xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2021 tăng so với quý I năm 2020.

Tỉ số phần trăm trị giá xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2020 và quý I năm 2021 là: $\frac{{78{,}56}}{{63{,}4}} \cdot 100\% \approx 123{,}9\%$.

Số phần trăm giá trị xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2021 tăng so với quý I năm 2020 là khoảng: $123{,}9\% - 100\% = 23{,}9\% .$

Vậy giá trị xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2021 tăng khoảng $19{,}3\%$ so với quý I năm 2020.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $BD,{\rm{ }}CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC,$ do đó $DG = \frac{1}{2}BG,$ $EG = \frac{1}{2}CG.$

Mà $F,{\rm{ }}H$ lần lượt là trung điểm của $BG,{\rm{ }}CG$ nên

$BF = FG = \frac{1}{2}BG,$ $CH = HG = \frac{1}{2}CG.$

Do đó $DG = BF = FG,{\rm{ }}EG = CH = HG.$

Suy ra, $G$ là trung điểm của $FD,{\rm{ }}G$ là trung điểm của $EH.$

Tứ giác $EFHD$ có hai đường chéo $EH$ và $FD$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên $EFHD$ là hình bình hành.

b) Để hình bình hành $EFHD$ là hình vuông thì $EH = DF$ và $EH \bot DF.$

Suy ra $EG = DG,{\rm{ }}BG = CG$ và $BD \bot CE.$

⦁ Xét $\Delta BEG$ và $\Delta CDG$ có:

$BG = CG,$ $\widehat {EGB} = \widehat {DGC}$ (đối đỉnh), $EG = DG$

Do đó $\Delta BEG = \Delta CDG$ (c.g.c).

Suy ra $BE = CD$ (hai cạnh tương ứng).$\left( 1 \right)$

Mà $BD,{\rm{ }}CE$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $E$ là trung điểm của $AB,{\rm{ }}D$ là trung điểm của $AC.$

Suy ra $AB = 2BE,{\rm{ }}AC = 2CD.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AB = AC.$

⦁ Dễ thấy, nếu $AB = AC$ và $BD \bot CE$ thì tứ giác $EFHD$ là hình vuông.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai đường trung tuyến $BD,CE$ vuông góc với nhau thì tứ giác $EFHD$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$

${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$

${\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc = 0$

${\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0$

${\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0$

$\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 3ac - 3bc - 3ab} \right] = 0$

$\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ac - bc - ab} \right) = 0$

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ac - bc - ab = 0$ (do $a + b + c \ne 0).$

Nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca.$

Khi đó ta có $N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}$

$= \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{1}{3}.$

Vậy $N = \frac{1}{3}.$