Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Đây là đồ thị hàm số dạng phân thức hữu tỉ.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;2} \right)$. Do đó $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$. Chọn D.

a) $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'}$ (theo quy tắc hình hộp).

b)

Gọi $M$ là trung điểm của $DC$.

Ta có $\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {DD'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$

$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$$= \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$.

$\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC}$$= - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB}$.

Khi đó $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\left( { - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)$

$= - {\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}$

$= - {\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2}$ (vì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = 0$)

$= - 9{a^2} + \frac{1}{3}.4{a^2} = - \frac{{23}}{3}{a^2}$.

c) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2} + 16{a^2}} = a\sqrt {29}$.

d) Có $AA' \bot AD$ nên $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Đáp án: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng 6. (b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng 5. (c) Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên bằng $\frac{{226}}{{45}}$. (d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng $\frac{{2\sqrt {730} }}{{45}}$.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là $R = 6 - 0 = 6$.

b) Cỡ mẫu $n = 3 + 15 + 12 + 9 + 5 + 1 = 45$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{45}}$ là thời gian sử dụng smartphone trong 1 ngày của 45 học sinh lớp 12A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = \frac{{{x_{11}} + {x_{12}}}}{2}$ mà ${x_{11}};{x_{12}} \in \left[ {1;2} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có ${Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{45}}{4} - 3}}{{15}}.1 = \frac{{31}}{{20}}$.

Ta có ${Q_3} = \frac{{{x_{34}} + {x_{35}}}}{2}$ mà ${x_{34}},{x_{35}} \in \left[ {3;4} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Có ${Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.45}}{4} - 30}}{9}.1 = \frac{{41}}{{12}}$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = \frac{{41}}{{12}} - \frac{{31}}{{20}} = \frac{{28}}{{15}} \approx 1{,}9$.

c) Ta có bảng sau

Ta có $\overline x = \frac{{3.0{,}5 + 15.1{,}5 + 12.2{,}5 + 9.3{,}5 + 5.4{,}5 + 1.5{,}5}}{{45}} = \frac{{227}}{{90}}$.

d) Phương sai của mẫu số liệu trên là

${s^2} = \frac{1}{{45}}\left( \begin{array}{l}3.{\left( {0{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 15.{\left( {1{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 12.{\left( {2{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\\ + 9.{\left( {3{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 5.{\left( {4{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 1.{\left( {5{,}5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\end{array} \right) = \frac{{2924}}{{2025}}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt {\frac{{2924}}{{2025}}} = \frac{{2\sqrt {731} }}{{45}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị.

Trả lời: $2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)$.

Để 3 điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $\frac{{ - 4}}{4} = \frac{{ - x - 2}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 3\end{array} \right.$.

Do đó $x + y = - 8$.

Trả lời: $- 8$.

Ta có $y' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \in \left[ {2;3} \right]$.

Ta có $y\left( 2 \right) = \frac{{\ln 2}}{2};y\left( e \right) = \frac{1}{e};y\left( 3 \right) = \frac{{\ln 3}}{3}$.

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = \frac{{\ln 2}}{2}$. Suy ra $a = 1;b = 2$. Do đó $a - 5b = 1 - 5.2 = - 9$.

Trả lời: $- 9$.

Xét lĩnh vực A.

$\overline {{x_A}} = \frac{{2.7{,}5 + 5.12{,}5 + 8.17{,}5 + 6.22{,}5 + 4.27{,}5}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = 18$.

$s_A^2 = \frac{{2.{{\left( {7{,}5 - 18} \right)}^2} + 5.{{\left( {12{,}5 - 18} \right)}^2} + 8.{{\left( {17{,}5 - 18} \right)}^2} + 6.{{\left( {22{,}5 - 18} \right)}^2} + 4.{{\left( {27{,}5 - 18} \right)}^2}}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = \frac{{137}}{4}$.

Suy ra ${s_A} = \frac{{\sqrt {137} }}{2}$.

Xét lĩnh vực B

$\overline {{x_B}} = \frac{{8.7{,}5 + 4.12{,}5 + 2.17{,}5 + 5.22{,}5 + 6.27{,}5}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{169}}{{10}}$.

$s_B^2 = \frac{{8.{{\left( {7{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 4.{{\left( {12{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 2.{{\left( {17{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 5.{{\left( {22{,}5 - 16{,}9} \right)}^2} + 6.{{\left( {27{,}5 - 16{,}9} \right)}^2}}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{1616}}{{25}}$.

Suy ra ${s_B} = \frac{{4\sqrt {101} }}{5}$.

Do đó ${s_A} + {s_B} = \frac{{\sqrt {137} }}{2} + \frac{{4\sqrt {101} }}{5} \approx 13{,}9$.

Trả lời: $13{,}9$.

Số tiền bán hết $x$ mét vải lụa là $B\left( x \right) = 220x$ nghìn đồng.

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa là

$L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right)$$= - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$.

Có $L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0$$\Leftrightarrow x = 10$ (vì $1 \le x \le 18$).

Ta có $L\left( 1 \right) = - {1^3} + {3.1^2} + 240.1 - 500 = - 258$; $L\left( {10} \right) = - {10^3} + {3.10^2} + 240.10 - 500 = 1200$;

$L\left( {18} \right) = - {18^3} + {3.18^2} + 240.18 - 500 = - 1040$.

Vậy mỗi ngày hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra 10 mét vải thì thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.

Vì $A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;0;0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $G \in Oz \Rightarrow G\left( {0;0;c} \right)$.

Do đó $C\left( { - a; - b;3c} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2a; - b;3c} \right)$.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$$\Leftrightarrow 2{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 2{a^2}$.

Khi đó $\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Từ đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình

Vậy phương trình $f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$ có một nghiệm.