Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

$2\cos x - 1 = 0$$\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$.

Mà $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ nên $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3}\\x = - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.$. Vậy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$. Chọn D.

Gọi H là giao điểm của AN và CM.

Xét $\Delta ABC$ có AN, CM là các đường trung tuyến. Suy ra H là trọng tâm tam giác ABC.

Có $\left\{ \begin{array}{l}H \in AN \subset \left( {ADN} \right)\\H \in CM \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right)$.

Lại có $D \in \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right)$. Do đó $DH = \left( {ADN} \right) \cap \left( {MCD} \right).$Chọn C.

Gọi N là trung điểm của SD.

Ta có O, N lần lượt là trung điểm của AC và SD nên ON là đường trung bình của $\Delta SBD$.

Suy ra ON // SB.

Do đó hình chiếu song song của điểm O lên (SAD) theo phương của đường thẳng SB là điểm N. Chọn D.

a) Ta có $S$ và $A$ là hai điểm chung của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ nên đường thẳng $SA$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

b) Ta có $C \notin \left( {SMP} \right)$ nên hai đường thẳng $SC$và $MP$không cùng nằm trong một mặt phẳng. Suy ra hai đường thẳng $SC$ và $MP$ chéo nhau.

c) Ta có N là điểm chung của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

Mặt khác $MP \subset \left( {MNP} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right)$ và $MP//BD$ (do $MP$là đường trung bình của tam giác $SBD$).

Suy ra giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là đường thẳng đi qua N đồng thời song song với $BD,MP$ cắt $CD$ tại $Q$.

d) Gọi $I$ là giao điểm $AC$ và $NQ$.

Từ giả thiết ta có ba mặt phẳng $\left( {MNP} \right),\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cắt nhau theo ba giao tuyến là $MN,SC$ và $IK$ trong đó $MN//SC$ (do MN là đường trung bình của $\Delta SBC$).

Suy ra $MN,SC$ và $IK$ đôi một song song.

Xét $\Delta SAC$ có $IK//SC$ nên $\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} = {1^3} = 1$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {3f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3.0 - 1 = - 1$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{1} = 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Điều kiện $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\pi$

Ta có $\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 3$$\Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k\pi$$\Leftrightarrow x = - \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện).

Suy ra $a = - 7;b = 24$. Do đó ${a^2} + b = 73$.

Trả lời: 73.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\{u_3} - {u_{15}} = 84\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\{u_1} + 2d - {u_1} - 14d = 84\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\ - 12d = 84\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 123\\d = - 7\end{array} \right.$.

Suy ra ${u_{17}} = {u_1} + 16d = 123 + 16.\left( { - 7} \right) = 11$.

Trả lời: 11.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6$. Suy ra $a = - 6$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2$. Suy ra $b = - 2$.

Do đó ${a^2} + {b^2} = {\left( { - 6} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 40$.

Trả lời: 40.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Gọi $I = SO \cap AM$ mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$. Suy ra $I = AM \cap \left( {SBD} \right)$.

Xét $\Delta SAC$, có SO và AM là các trung tuyến. Suy ra I là trọng tâm của $\Delta SAC$.

Do đó $IA = 2IM$ mà $\overrightarrow {IA}$ và $\overrightarrow {IM}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IM}$.

Suy ra $k = - 2$. Do đó ${k^3} = - 8$.

Trả lời: −8.

Diện tích bề mặt tầng 1 là $12288:2 = 6144$.

Diện tích bề mặt 10 tầng của một cái tháp lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 6144;q = \frac{1}{2}$.

Khi đó diện tích bề mặt trên cùng của tháp là ${u_{10}} = {u_1}.{q^9} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = 12$ m$^{2}$.

Hình chóp $S.ABCD$ mô tả khối chóp.

Cưa đi phần đỉnh của khối gỗ, lưỡi cưa đi qua các trung điểm của ba cạnh bên của khối gỗ nghĩa là cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua các điểm $A',B',C'$ ($A',B',C'$ là trung điểm của $SA,SB,SC$).

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $O'$ là giao điểm của $A'C',SO$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $D'$là giao điểm của $B'O',SD$.

Suy ra mặt phẳng cắt các mặt của hình chóp theo các giao tuyến là $A'B',B'C',C'D',D'A'$.

Dây đèn trang trí được gắn vào các cạnh $AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',AA',BB',CC',DD'$.

Dễ dàng chứng minh $D'$ là trung điểm của SD.

Do đó $A',B'$ là trung điểm của SA, SB nên $A'B' = \frac{1}{2}AB = 0{,}25$ m.

Tương tự $B'C' = C'D' = D'A' = 0{,}25$ m.

Do $A',B',C',D'$là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$nên $AA' = BB' = CC' = DD' = 0{,}25$ m.

Vậy $AB + BC + CD + DA + A'B' + B'C' + C'D' + D'A' + AA' + BB' + CC' + DD' = 0{,}5.4 + 0{,}25.8 = 4$ m.