Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Ta có ${x^2} - 2x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow A = \left\{ {0;2} \right\}$.

Ta có $1 < \left| x \right| \le 2$ Þ $x \in \left\{ { - 2;2} \right\}$ $\Rightarrow B = \left\{ { - 2;2} \right\}$.

Do đó $A\backslash B = \left\{ 0 \right\}$. Chọn C.

Thay tọa độ điểm $\left( {0;0} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 1 > 0\\4 < 0\end{array} \right.$ (vô lý).

Do đó $\left( {0;0} \right)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn C.

Điều kiện: $3x - 1 \ge 0$$\Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D = \left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$. Chọn C.

$S = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\sin \left( {180^\circ - x} \right) - \sin \left( {90^\circ - x} \right)\cos \left( {180^\circ - x} \right)$

$= \sin x.\sin x + \cos x.\cos x$$= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$. Chọn C.

$\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$$= - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$$= \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$. Chọn C.

a) Parabol có tọa độ đỉnh $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow I\left( {1;4} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $\left( {0;3} \right)$ ta thấy thỏa mãn. Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$.

c) Ta có $f\left( x \right) > 0$ $\Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 > 0$$\Leftrightarrow - 1 < x < 3$.

Do đó $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)$.

d) $\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {3 - x}$ $\Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {3 - x}$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được $- {x^2} + 2x + 3 = 3 - x$$\Leftrightarrow - {x^2} + 3x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Thay 2 giá trị của $x$ vào bất phương trình $3 - x \ge 0$ thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó phương trình $\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {3 - x}$ có 2 nghiệm.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có MN là đường trung bình của DABC nên $MN = \frac{1}{2}BC$.

Lại có $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

b) $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|$.

c) $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 30^\circ$.

d) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= a.a.\cos 30^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

$\tan 45^\circ + \cot 135^\circ$$= \tan 45^\circ - \cot 45^\circ$$= 1 - 1 = 0$.

Trả lời: 0.

$\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {AB}$. Suy ra $a = - 2$.

Trả lời: −2.

Gọi N là trung điểm của BC.

Ta có $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)$$= \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD}$$= - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD}$$= - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$

$= - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$$= \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$$= \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

$= \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC}$.

Suy ra $m = 2;n = 1$. Do đó $m + n = 3$.

Trả lời: 3.

Số gam đường cần để pha $x$ lít nước cam loại I là $20x$ gam.

Số gam đường cần để pha $y$ lít nước cam loại II là $60y$ gam.

Vì An chỉ có thể dùng không quá 200 gam đường nên ta có bất phương trình $20x + 60y \le 200$$\Leftrightarrow x + 3y \le 10$.

Suy ra $a = 1;b = - 3$.

Do đó $2{a^2} + 100b = {2.1^2} + 100.\left( { - 3} \right) = - 298$.

Trả lời: −298.

Gọi $x,y\left( {x,y \ge 0} \right)$ lần lượt là diện tích trồng đào và diện tích trồng bưởi mà hộ nông dân trồng.

Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.$.

Số tiền thu được là $F = 2x + 2{,}5y$ (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 2x + 2{,}5y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC kể cạnh của tứ giác (phần gạch chéo) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {4;0} \right)$.

Ta có $O\left( {0;0} \right)$ thì $F = 0$.

Ta có $A\left( {0;3} \right)$ thì $F = 7{,}5$.

Ta có $B\left( {3;1} \right)$ thì $F = 8{,}5$.

Ta có $C\left( {4;0} \right)$ thì F = 8.

Do đó để số tiền thu được lớn nhất là 8,5 triệu đồng.

Có chu vi của tam giác là 20 + 28 + 32 = 80.

Suy ra nửa chu vi tam giác là p = 40.

Diện tích tam giác ABC có $S = \sqrt {40\left( {40 - 20} \right)\left( {40 - 28} \right)\left( {40 - 32} \right)} = 160\sqrt 3$.

Lại có diện tích tam giác là $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{20.28.32}}{{4.160\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt 3 }}{3}$.

Chu vi hình tròn ngoại tiếp hình tam giác là $2\pi R = \frac{{2\pi .28\sqrt 3 }}{3} \approx 102$ m.

Vậy độ dài đường dây điện ít nhất nhà An cần dùng là 102 m.

Độ cao của quả bóng tính theo thời gian được xác định bởi hàm số $h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$(m), $t \ge 0$.

Với các thông số cho bởi bảng trên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 28\\a + b + c = 48\\4a + 2b + c = 64\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 16\\b = 64\\c = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow h\left( t \right) = - 16{t^2} + 64t$. Do đó $h\left( 3 \right) = 48$.

Vậy độ cao quả bóng đạt được tại thời điểm 3 giây là 48 m.