Bộ 3 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều (2023 - 2024) có đáp án - Đề 1

Chọn A

Phủ định của “=” là “≠”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề “$2 + 3 = 9$” là mệnh đề $2 + 3 \ne 9$.

Chọn C

Ta có mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” có thể phát biểu là:

“$P$ là điều kiện đủ để có $Q$” hoặc “$Q$ là điều kiện cần để có $P$”.

Khi đó mệnh đề “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.

Chọn D

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành” là mệnh đề “Nếu tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

Chọn D

Mệnh đề “$\exists n \in \mathbb{Q}:\frac{1}{n} > n$” được phát biểu là “Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.

Chọn C

Xét từng đáp án:

+) Đáp án A: Tập hợp $\left\{ {0;\,1;\,2} \right\}$ không phải tập hợp con của tập $A$ do $0 \notin A$.

+) Đáp án B: Tập hợp $\left\{ {1;\,2;\,5} \right\}$ không phải tập hợp con của tập $A$ do $5 \notin A$.

+) Đáp án C: Tập hợp $\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}$ là tập hợp con của tập $A$ do mọi phần tử của tập hợp $\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}$đều thuộc $A$.

+) Đáp án D: Tập hợp $\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}$ không phải tập hợp con của tập $A$ do $5 \notin A$.

Chọn A

Ta có $A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right| - 1 < x \le 6} \right\}$ nên tập hợp $A$ là tập hợp các số thực lớn hơn $- 1$ và nhỏ hơn hoặc bằng $6$. Do đó $A = \left( { - 1;6} \right]$. Vậy $A = B$.

Chọn D

Ta có $\left( { - 1;\,2} \right) \subset \left[ { - 1;\,2} \right)$. Do đó $\left( { - 1;\,2} \right) \subset A$.

Chọn A

Ta có phương trình ${x^2} + 2 = 0$ vô nghiệm (do ${x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$).

Vậy tập hợp $\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + } \right.2 = 0} \right\}$ là tập hợp rỗng.

Chọn B

Ta có ${x^2} - 4 = 0$, tức là ${x^2} = 4$, suy ra $x = 2$ hoặc $x = - 2$.

Do $x \in \mathbb{N}$ nên ta chọn $x = 2$. Khi đó, $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}{{\left| x \right.}^2} - 4 = 0} \right\} = \left\{ 2 \right\} \subset \left\{ { - 2;\,2} \right\}$.

Vậy $A \subset B$.

Chọn D

Xét từng đáp án:

+) Đáp án A: Bất phương trình $x + \frac{1}{y} < 2$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn $y$ ở dưới mẫu.

+) Đáp án B: Bất phương trình ${x^2} + 2y > 4$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${x^2}$.

+) Đáp án C: Ta có $x\left( {2x - y} \right) = 2{x^2} - xy$ nên bất phương trình $x\left( {2x - y} \right) \ge 1$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${x^2}$.

+) Đáp án D: Bất phương trình $y - 2 \le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số của ẩn $x$ là 0 và hệ số của ẩn $y$ là 1.

Chọn A

Tương tự như Câu 10, ta thấy bất phương trình $x + \frac{1}{y} < 2$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn B

Xét từng đáp án:

+) Đáp án A: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y > 0}\\{x + {y^2} \ge 3}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${y^2}$.

+) Đáp án B: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x + 2y < - x + 2}\\{x + y > 3}\end{array}} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) Đáp án C: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} + 2y < 0}\\{2x + y + 3 < 0}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${x^2}$.

+) Đáp án D: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - x + {y^3} > 4}\\{x + 2y < 1}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${y^3}$.

Chọn B

Xét từng đáp án:

+) Đáp án A: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} - y < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${x^2}$.

+) Đáp án B: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + 3y < 0}\\{x + y < 13}\end{array}} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) Đáp án C: Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${y^3}$.

+) Đáp án D: Hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y = 4}\\{x + 2y = 1}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó là hệ phương trình.

Chọn C

Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + {y^3} \le 0}\\{2y + 3 < 0}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${y^3}$.

Chọn A

Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - \frac{1}{y} < 0}\\{4y \ge 0}\end{array}} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ẩn $y$ ở dưới mẫu.

Chọn B

Ta có $\sin 180^\circ = 0$.

Chọn C

Vì $90^\circ < 137^\circ < 180^\circ$ nên $\cos 137^\circ < 0$.

Chọn C

Ta có $\tan 45^\circ = 1$.

Chọn B

Ta có một số hệ thức lượng giác cơ bản:

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$; $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$; $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, suy ra $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}$.

Vậy khẳng định B sai.

Chọn C

Phủ định của “$\forall$” là “$\exists$”, phủ định của “>” là “$\le$”.

Khi đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề $P\left( x \right)$ là mệnh đề: $"\exists x\in ℝ,\ {x}^{2}+x+1\le 0"$.

Chọn A

Mệnh đề “Với mọi số thực $x$, nếu $x < - 2$ thì ${x^2} > 4$” là mệnh đề đúng.

Mệnh đề ở đáp án B sai vì nếu ta chọn $x = 1$ thì ${x^2} = {1^2} = 1 < 4$ nhưng $1 > - 2$.

Mệnh đề ở đáp án C sai vì nếu ta chọn $x = - 3$ thì $- 3 < - 2$ nhưng ${x^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9 > 4$.

Mệnh đề ở đáp án D sai vì nếu ta chọn $x = - 3$ thì ${x^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9 > 4$ nhưng $- 3 < - 2$.

Chọn C

Phần tô đậm trong hình vẽ trên là tập hợp các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ nên đây là tập hợp $A\backslash B$.

Chọn B

Gọi $d:y = ax + b$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {2;\,0} \right)$ và $\left( {0;\, - 4} \right)$, đây là đường thẳng chia mặt phẳng tọa độ thành hai phần (phần gạch chéo và phần không gạch chéo).

Khi đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\ - 4 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.$. Vậy $d:y = 2x - 4$ hay $d:2x - y = 4$.

Xét gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc phần bị gạch, ta có $2 \cdot 0 - 0 = 0 < 4$ nên điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \le 4$.

Vậy phần không gạch chéo (kể cả bờ) ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình$2x - y \ge 4$.

Chọn A

Gọi $d:y = ax + b$. Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $\left( {\frac{2}{3};\,0} \right)$ và $\left( {0;\, - 2} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{2}{3}a + b\\ - 2 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right.$. Vậy $d:y = 3x - 2$ hay $d: - 3x + y + 2 = 0$.

Xét gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc phần không bị gạch, ta có $\left( { - 3} \right) \cdot 0 + 0 + 2 = 2 > 0$ nên điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $- 3x + y + 2 \ge 0$.

Vậy phần không gạch chéo (kể cả bờ) ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình$- 3x + y + 2 \ge 0$.

Chọn A

Gọi $d:y = ax + b$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {2;\,0} \right)$ và $\left( {0;\,\,3} \right)$.

Khi đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\3 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = 3\end{array} \right.$. Vậy $d:y = - \frac{3}{2}x + 3$ hay $d:3x + 2y = 6$.

Trục $Ox:\,y = 0$.

Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Chọn A

Gọi $d:y = ax + b$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {3;\,0} \right)$ và $\left( {0;\,\,2} \right)$.

Khi đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}0 = 3a + b\\2 = a \cdot 0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right.$. Vậy $d:y = - \frac{2}{3}x + 2$ hay $d:2x + 3y = 6$.

Từ đó, ta loại đáp án C và đáp án D.

Xét điểm $\left( {3;\,\,2} \right)$ thuộc phần không bị gạch, ta có $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12 > 6$ nên điểm $\left( {3;\,\,2} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y > 6$. Vậy ta chọn đáp án A.

Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng $AB$ đi hai qua điểm $\left( {1;\,\,0} \right)$ và $\left( {0;\, - 2} \right)$.

Tương tự Câu 27, ta xác định được $AB: - 2x + y = - 2$.

Đường thẳng $AC$ đi qua hai điểm $\left( {2;\,\,0} \right)$ và $\left( {0;\,\, - 1} \right)$ nên $AC:x - 2y = 2$.

Đường thẳng $BC$ đi qua hai điểm $\left( {5;\,\,0} \right)$ và $\left( {4;\,\,1} \right)$ nên $BC:x + y = 5$.

Xét điểm $\left( {2;\,\,1} \right)$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 = - 3 < - 2\\2 - 2 \cdot 1 = 0 < 2\\2 + 1 = 3 < 5\end{array} \right.$.

Khi đó, điểm $\left( {2;\,\,1} \right)$ thuộc miền nghiệm của các bất phương trình $- 2x + y \le - 2;\,\,x - 2y \le 2$ và $x + y \le 5$ nên nó thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.$.

Vậy miền tam giác $ABC$ trong hình vẽ đã cho (kể cả các cạnh của tam giác đó) là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le - 2\\x - 2y \le 2\\x + y \le 5\end{array} \right.$.

Chọn A

Ta có$\sin 24^\circ \approx 0{,}41$.

Sử dụng máy tính cầm tay và làm tròn kết quả.

Chọn A

Ta có $\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \frac{3}{5}$ (sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau).

Chọn C

Tam giác $ABC$ có $BC = a,\,AC = b,\,AB = c$, một số công thức tính diện tích tam giác:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ac\sin B$;

${S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$;

${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ (công thức Heron) với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$;

${S_{\Delta ABC}} = pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Vậy đáp án C sai.

Chọn C

Tam giác $ABC$ có $BC = a,\,AC = b,\,AB = c$, ta có định lí côsin: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\\{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\end{array} \right.$.

Vậy đáp án C sai.

Chọn D

Tam giác $ABC$ có $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có định lí sin:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R$.

Vậy đáp án D đúng.

Chọn C

Tam giác $ABC$ có $BC = a,\,AC = b,\,AB = c$, công thức tính diện tích tam giác:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Vậy đáp án C đúng.

Chọn D

Tam giác $ABC$ có $BC = a,\,AC = b,\,AB = c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Từ đó suy ra $a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}$; $\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}$; $a = 2R\sin A$; $b = 2R\sin B$.

Do đó, đáp án D sai.

Gọi $T$ là tập hợp học sinh giỏi Toán của lớp.

Gọi $V$ là tập hợp học sinh giỏi Văn của lớp.

Ta có $T \cup V$ là tập hợp tất cả học sinh của lớp.

$T \cap V$ là tập hợp các học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Văn.

Ta có $\left| {T \cup V} \right| = \left| T \right| + \left| V \right| - \left| {T \cap V} \right|$

$\left| {T \cap V} \right| = \left| T \right| + \left| V \right| - \left| {T \cup V} \right| = 35 + 25 - 50 = 10$.

Vậy lớp có 10 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Văn.

a) Theo đề bài ta có mối liên hệ giữa $x$ và $y$

$140x + 180y \le 170(x + y) \Leftrightarrow 30x - 10y \ge 0 \Leftrightarrow 3x - y \ge 0$.

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:3x - y = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Bước 2: Lấy điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ không thuộc $d$ và điểm $M$ thỏa mãn $3 \cdot 1 - 0 = 3 > 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ (miền không bị gạch).

b) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số xe $A$ và $B$. Khi đó số tiền cần bỏ ra thuê là $f\left( {x;\,y} \right) = 4x + 3y$.

Ta có $x$ xe loại $A$ chở được $20x$ người và $0{,}6x$ tấn hàng.

Ta có $y$ xe loại $B$ chở được $10y$ người và $1{,}5y$ tấn hàng.

Khi đó số người chở được là $20x + 10y$ và số tấn hàng chở được là $0{,}6x + 1{,}5y$.

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 140\\0{,}6x + 1{,}5y \ge 9\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y \ge 14\\2x + 3y \ge 30\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.$ (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) ta được:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác $ABCD$ (kể cả biên) với $A\left( {5;\,4} \right),\,B\left( {10;\,2} \right),\,C\left( {10;\,9} \right),\,D\left( {\frac{5}{2};\,9} \right)$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f\left( {x;\,y} \right) = 4x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ (*).

Thay tọa độ các điểm $A,\,B,\,C,\,D$ ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $\left( {x;\,y} \right) = \left( {5;\,4} \right)$.

Vậy phải thuê 5 xe loại $A$ và 4 xe loại $B$ để chi phí là ít nhất.

Ta có $\widehat {ACB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Xét tam giác $ABC$, có $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 120^\circ } \right) = 30^\circ$.

Do đó, tam giác $ABC$ cân tại $C$.

$\Rightarrow AC = CB = 100$ m.

Ta có $\widehat {ACH} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên $AH = AC \cdot \sin \widehat {ACH} = 100 \cdot \sin 30^\circ = 50$ m.

Vậy chiều cao của ngọn đồi là $50$ m.

Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại $C$ là $t$ (giờ, $t > 0$).

Quãng đường $BC$ là $20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Quãng đường $AC$ là $30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta có

$\frac{{BC}}{{\sin \alpha }} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{AC}} = \frac{{20t \cdot \sin 124^\circ }}{{30t}} \approx 0{,}5527 \Rightarrow \alpha \approx 34^\circ$.

Vậy tàu $A$ chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu $B$ một góc $34^\circ$.

Xét tam giác $ABC$, ta có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = 180^\circ - \left( {124^\circ + 34^\circ } \right) = 22^\circ$.

Áp dụng định lí sin, ta có

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB \cdot \sin A}}{{\sin C}} \Leftrightarrow 20t \approx \frac{{50 \cdot \sin 34^\circ }}{{\sin 22^\circ }} \Leftrightarrow t \approx 3{,}73$ (giờ).

Vậy sau khoảng $3{,}73$ giờ thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$.