Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 7

Chọn B

Gọi $E$là trung điềm $AD$

Xét tam giác $BCE$ có $\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}$

Nên suy ra $MG//\left( {ACD} \right).$

Chọn A

$$A = \sin 5x - \sin 3x = 2\cos 4x.\sin x$$

Chọn B

Hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)$ có điểm chung là $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD$song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với$AB$.

Chọn C

Trong $mp(SAD)$, $MN$cắt $AD$tại $K$.

Do đó giao điểm của mặt phẳng $\left( {BMN} \right)$ và đường thẳng $AD$ thuộc đường thẳng $MN$

Chọn A

$\begin{array}{l}\frac{{\cos \alpha + \sin 2\alpha }}{{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha }} = \frac{{\cos \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha - \left( {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {1 + 2\sin \alpha } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cot \alpha = 0.\tan \alpha + 1.\cot \alpha = x.\tan \alpha + y.\cot \alpha \,\\\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\end{array}$

$S = x - y = 0 - 1 = - 1$

Chọn A

Hàm số $y = \frac{{2023}}{{\tan x}}$xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$

Tập xác định của hàm số $y = \frac{{2023}}{{\tan x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Chọn B

Các giá trị của $x$ trên đoạn trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ thỏa mãn $\sin x = 0$là 5 điểm như trên hình sau

Vậy số phần tử của S là 5.

Chọn C

Khẳng định đúng là

(2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau.

(3) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Chọn A

${u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 3 + 2.2 = 7$

Chọn B

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,BD$.

Trong tam giác $AEF$ có $\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $MN{\rm{//}}EF$

Mà $EF{\rm{//}}CD$ nên $MN{\rm{//}}CD$

Chọn D

$430^\circ = 360^\circ + 70^\circ$nên điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ (I).

Chọn C

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$

Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$ trên đường tròn lượng giác là $4$

Chọn A

Vì $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;4\pi } \right]$ (hai vòng)

Ta vẽ đưởng thằng $y = \frac{2}{3}$ cắt một vòng của đường tròn lượng giác tại 2 điểm và do đó cắt 2 vòng tại 4 điểm.

Vậy số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$ của phương trình $\sin 2x = \frac{2}{3}$ là 4.

Chọn C

$${\rm{cos}}2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}$$

Chọn C

$\bullet$ $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$

$\bullet$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\\I \in BD \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$

Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI.$

Chọn A

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{1}{{n + 1}} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{n} + 2} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} < 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm

Chọn B

$\cos x - 1 = m \Leftrightarrow \cos x = m + 1$

Nên phương trình $\cos x - 1 = m$ có nghiệm $- 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow$$- 2 \le m \le 0$

Chọn A

$\begin{array}{l}\cos \left( {a + b} \right) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos a\cos b + \sin a\sin b = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Lấy (2) trừ (1) ta được $2\sin a\sin b = \frac{1}{6} \Rightarrow \sin a\sin b = \frac{1}{{12}}$

Chọn C

Do $AB\;{\rm{//}}\;CD$ nên mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$và $\left( {SAB} \right)$ có giao tuyến là đường thẳng $MG$song song với $AB$.

Do đó giao tuyến của $\left( {MCD} \right)$với các mặt hình chóp là $CD,DG,GM,\,MA$.

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$ là hình thang $CMGD$

Chọn A

${u_5} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2$

Chọn B

$\tan x = - 1 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}$

Chọn D

$y = \tan x$tuần hoàn chu kỳ $T = \frac{\pi }{1} = \pi$

Chọn B

$\cos \left( {2025\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {2024\pi + \pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha$

Chọn D

Chọn D

$\sin 2x + \cos 2x - \sin x - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - \sin x - \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)$

a) Ta có

$\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)$

Trong mp$\left( {ABCD} \right)$ kéo dài $CN \cap AB \equiv E$

$\Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có $\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME$

Hay $\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)$

Ta có $\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)$

Ta có trong $\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L$$\Rightarrow L$ là trung điểm của $AP$

Trong $\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K$

$\Rightarrow K$là trọng tâm tam giác $SAP$

$\Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\tan \widehat {BCN} = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{25}}{8}$

$\tan \widehat {ACN} = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{25}}{{26}}$

$\widehat {BCA} = \widehat {BCN} - \widehat {ACM} \Rightarrow \tan \widehat {BCA} = \frac{{\tan \widehat {BCN} - \tan \widehat {ACM}}}{{1 + \tan \widehat {BCN}.\tan \widehat {ACM}}} = \frac{{\frac{{25}}{8} - \frac{{25}}{{26}}}}{{1 + \frac{{25}}{8}.\frac{{25}}{{26}}}} = \frac{{450}}{{833}}$

$\Rightarrow \widehat {BCA} \approx 28{,}4^\circ$