Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 11

Chọn D

Ta có $\frac{π}{18}rad={(\frac{180}{18})}^{^{\circ}}={10}^{^{\circ}}$

Chọn B

Ta có ${180^0} < \alpha < {270^0}$ suy ra $\cos \alpha < 0$. Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{ - 12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{5}{{13}}$.

Chọn B

$\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{2}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}.\frac{2}{3}}} = \frac{{ - 3}}{{11}}$.

Chọn C

$A = \frac{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }} = \frac{{2{{\cos }^2}\alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha .\cos \alpha + \sin \alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {2\cos \alpha + 1} \right)}}{{\sin \alpha \left( {2\cos \alpha + 1} \right)}} = \cot \alpha$.

Chọn C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow 3x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})$.

Chọn D

Ta có $0 \le 3{\sin ^2}x \le 3 \Leftrightarrow 0 \ge - 3{\sin ^2}x \ge - 3 \Leftrightarrow 1 \ge 1 - 3{\sin ^2}x \ge - 2$.

Vậy $M = 1,\,\,m = - 2.$

Chọn A

$f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}{{\tan x}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}$, $\sin x \ne 0;\cos x \ne 0$.

$\Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{2\sqrt 3 \cos 2x}}{{2\sin x.\cos x}} = 3{\cot ^2}x - 2\sqrt 3 \cot 2x$.

Đặt $\cot 2x = t$, $t \in \mathbb{R}$, hàm số trở thành $\Leftrightarrow f\left( t \right) = 3{t^2} - 2\sqrt 3 t$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $- 1$. Do đó chọn A.

Chọn A

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Chọn C

$\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Chọn B

$\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn C

Ta có ${u_n} = \frac{{n + 7}}{{n + 6}} = 1 + \frac{1}{{n + 6}}$. Suy ra ${u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{n + 7}}$.

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{n + 6}} - \left( {1 + \frac{1}{{n + 7}}} \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 7} \right)}} < 0$; $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 7}}{{n + 6}}$ là dãy số giảm.

Chọn B

Hiển nhiên $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Ta có $O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Do đó $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$.

Chọn B

Vì $M$ là trung điểm của $SA$, $N$ là trung điểm của $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$. Do đó $MN{\rm{ // }}AD$. Lại có $BC{\rm{ // }}AD$(do $ABCD$ là hình bình hành).

Nên $MN{\rm{ // }}BC$(tính chất bắc cầu).

Chọn D

Vì $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó $MN{\rm{ // }}BC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( {MNK} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\MN{\rm{ // }}BC{\rm{ }}\\MN \subset \left( {MNK} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNK} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Kx{\rm{ // }}MN{\rm{ // }}BC{\rm{ }}$.

Chọn A

Chọn mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ chứa $AM$. Tìm giao tuyến của $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

Ta có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

$O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Do đó $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$.

Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $SO$. Mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$. Nên $I$ là giao điểm của $AM$ và $\left( {SBD} \right)$.

Chọn C

$SA$ và $BC$không đồng phẳng nên $SA$ và $BC$chéo nhau. Do đó phương án A đúng, phương án C sai.

$SB \cap BD = B$. Nên $SB$ và $BD$ cắt nhau. Do đó phương án B đúng.

Đáy $ABCD$ là hình thang nên$AD$ và $BC$ song song. Do đó phương án D đúng.

Chọn C

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

Vì điểm $M$ nằm trên cạnh $AD$ sao cho $AM = 2MD$ nên $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{{AG}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{2}{3}$. Suy ra $GM{\rm{ // }}DN$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}GM{\rm{ // }}DN{\rm{ }}\\GM \not\subset \left( {BCD} \right)\\DN \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GM{\rm{// }}\left( {BCD} \right)$.

Lời giải

Cho $\cos \alpha = - \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin \alpha \,\,,\,\,\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Ta có: $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha > 0$

Vậy $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{3}{5}$

Cách trình bày khác

Ta có

$${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}$$

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha = \frac{3}{5}$Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha = - \frac{3}{5}$

$$\begin{array}{l}\cos (\alpha + \frac{\pi }{3}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{{3\,\,\,}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{1}{2} - \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\end{array}$$

1) Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{\sin (x + \frac{\pi }{4}) - 1}}$.

Hàm số xác định khi $\sin (x + \frac{\pi }{4}) - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) \ne 1$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\end{array}$$

TXD: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

2) Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = x.\sin 2x$.

TXD: $D = \mathbb{R}$

$$\forall x \in D\, \Rightarrow \, - x \in D$$

Đặt $f(x) = x.\sin 2x$

Ta có: $f( - x) = ( - x).\sin \left( {2( - x)} \right) = x.\sin 2x = f(x),\forall x \in D$

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn