Bộ 11 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 1

Chọn A

Ta có: ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$. Suy ra $\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$.

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha > 0$. Do đó: $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Chọn B

A. Sai, vì trên khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ hàm số $y = \cot x$ không xác định tại $x = \pi$.

B. Đúng, vì trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)$ hàm số $y = \cot x$ nghịch biến.

C. Sai, vì trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ hàm số $y = \cot x$ nghịch biến.

D. Sai, vì trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{4};\pi } \right)$ hàm số $y = \cot x$ không xác định tại $x = 0$.

Chọn B

Vì $(\pi - \alpha )$ và $\alpha$ là hai cung bù nhau nên $\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha$.

Chọn A

Ta có $\tan x = - 1$$\Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C

Ta thấy trên khoảng $\left( { - \pi ;0} \right)$ thì hàm số đã cho đồng biến.

Chọn D

Ta có: $\cos 2x = \frac{{\sqrt 5 }}{2} > 1$ nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn A

Ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn C

Ta có $\cos x = - \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A

Ta có: $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{9}$.

Chọn A

Theo công thức lượng giác thì đáp án A đúng.

Chọn D

Ta có: ${\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}$. Suy ra $\sin x = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

Vì $0 < x < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin x > 0$. Do đó: $\sin x = \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

Ta có: $\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$$= 2\cos x \cdot \cos \frac{\pi }{6} = 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Chọn A

Ta có: $\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}$$= \frac{{2\left( { - 3} \right)}}{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{3}{4}$.

Chọn D

Theo công thức lượng giác, ta thấy đáp án D đúng.

Chọn D

Ta thấy đáp án D đúng.

Chọn C

Trong không gian, giữa 2 đường thẳng phân biệt có 3 vị trí tương đối: song song, cắt nhau và chéo nhau.

Chọn D

Hàm số $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn có chu kì bằng $\pi$

Chọn C

Với $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ thì: $\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0$.

Chọn B

Theo công thức nhân đôi ta thấy đáp àn B đúng.

Chọn A

Đây là đồ thị của hàm số $y = \sin x.$

Chọn C

Ta có: $A \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ (1).

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}I \in BG,BG \subset \left( {ABG} \right)\\I \in CD,CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow I \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AI = \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$.

Chọn D

Đặt: $AH = x$. Điều kiện: $0 < x \ne 40$.

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$, có: $\tan 2\alpha = \frac{{HC}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, có: $\tan \alpha = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}$.

Ta có: $\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}$$\Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{\frac{{{x^2} - 1600}}{{{x^2}}}}}$$\Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{80x}}{{{x^2} - 1600}}$

$\Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 1600} \right) = 8{x^2}$$\Leftrightarrow {x^2} = 14400 \Leftrightarrow x = 120.$

Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: $AH = 120m$.

Chọn D

Ta có: $\cos \alpha$$= \cos \left( { - \frac{{399\pi }}{4}} \right)$$= \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 100\pi } \right)$$= \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)$$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Chọn D

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,AB$.

Ta có: $\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}$ nên $MN{\rm{//}}EF$ mà $EF$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $EF{\rm{//}}BD$.

Do đó $MN{\rm{//}}BD$.

Hai mp $\left( {IMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ có điểm $I$ chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$

và $BD$ nên giao tuyến qua điểm $I$ và song song với $MN,BD$. Giao tuyến này cắt $CD,AB,AD$

lần lượt tại $J,H,K$. Suy ra $P = SB \cap NH,Q = SD \cap MK$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\end{array} \right.$ mà $IJ{\rm{//}}BD$ nên $PQ{\rm{//}}IJ{\rm{//}}BD$.

Mặt khác, $NP$ không song song với $MQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Chọn A

Ta có: $MO$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $MO{\rm{//}}AB$.

Chọn D

Vì $- 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1$ nên $- 3 \le 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 3$$\Leftrightarrow 26 \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 32$

$\Leftrightarrow 26 \le h\left( t \right) \le 32$.

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $26^\circ$ khi và chỉ khi:

$\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = - 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow t = 3 + 24k,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là 26°C.

Chọn C

Ta có$\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = MN\\AC \subset \left( {ABC} \right),AC{\rm{//}}\left( P \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow MN{\rm{//}}AC$.

Chọn C

$\cos x - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 2m - 3$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - 4\pi ;4\pi } \right]$, ta thấy để phương trình có 4 nghiệm thì:

$\left[ \begin{array}{l}2m - 3 = - 1\\2m - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$.

Ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$$\Leftrightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos x = \pm \frac{4}{5}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < x < \pi$ nên $\cos x < 0$, suy ra $\cos x = - \frac{4}{5}$.

$A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} - \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{10}}$.

a) $O$ là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {OMI} \right)$.

Trong mp $\left( {SBC} \right),$ gọi $N$ là giao điểm của $IM$ và $SC$.

$\left\{ \begin{array}{l}N \in IM,IM \subset (OMI)\\N \in SC,SC \subset (SAC)\end{array} \right.$

Nên $N$ là điểm chung thứ 2 của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {OMI} \right)$.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {OMI} \right)$ là $ON.$

b) Trong mp $\left( {SAC} \right),$ gọi $P$ là giao điểm của $ON$ và $SA$.

Đường thẳng $SA$ cắt đường thẳng $ON$ nằm trong mp $\left( {OMI} \right)$ tại $P$ nên $P$ là giao điểm cần tìm .