Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\frac{{x + 8}}{{2:x}}$ không là phân thức vì $2:x$ không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Khi đó mẫu thức chung của các phân thức $\frac{1}{{x - 1}};\,\,\frac{5}{{x + 1}};\,\,\frac{7}{{{x^2} - 1}}$ là ${x^2} - 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phân thức đối của phân thức $\frac{{1 - x}}{x}$ là $- \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phân thức nghịch đảo của phân thức $- \frac{x}{{x - 2y}}$ là $- \frac{{x - 2y}}{x} = \frac{{2y - x}}{x}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhân cả hai vế của phương trình $\frac{1}{2}x = - 1$ với $2$ ta được $x = - 2,$ do đó ta đưa được phương trình này về phương trình $x + 2 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2$ có vô số nghiệm khi ${m^2} - 4 = 0$ và $m - 2 = 0.$

⦁ Xét ${m^2} - 4 = 0,$ ta có $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,$ tức là $m - 2 = 0$ hoặc $m + 2 = 0,$ nên $m = 2$ hoặc $m = - 2.$

Xét $m - 2 = 0,$ ta có $m = 2.$

Kết hợp hai điều kiện ta được $m = 2.$

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì theo tỉ số $k = \frac{5}{9}$ nên ta có $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{CA}}{{FD}} = \frac{5}{9}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{CA}}{{FD}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{DE + EF + FD}} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}} = \frac{5}{9}.$

Khi đó $\frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{5} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{9},$ theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

$$\frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}}{5} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{9} = \frac{{Chu\,\,vi\,\,\Delta ABC + Chu\,\,vi\,\,\Delta DEF}}{{5 + 9}} = \frac{{28}}{{14}} = 2.$$

Suy ra chu vi của tam giác $DEF$ là $2 \cdot 9 = 18{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, $S$ là diện tích $\Delta ABC$ $\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}S > 0} \right).$

Ta có $S = \frac{1}{2}a \cdot 4{,}8 = \frac{1}{2}b \cdot 6 = \frac{1}{2}c \cdot 8$

Hay $2S = 4{,}8a = 6b = 8c.$

Suy ra $a = \frac{{2S}}{{4{,}8}} = \frac{{5S}}{{12}};\,\,b = \frac{{2S}}{6} = \frac{S}{3};\,\,c = \frac{{2S}}{8} = \frac{S}{4}.$

Ta có: ${b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{S^2}}}{{144}}.$

${a^2} = {\left( {\frac{{5S}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{S^2}}}{{144}}.$

Do đó ${b^2} + {c^2} = {a^2},$ theo định lí Pythagore ta có tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..$

Vậy để $B$ xác định thì $x \ne 1$ và $x \ne - 1.$

b) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ ta có:

$B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}$$= \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{x + 1}}$.

Vì vậy với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x = - \frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $B = \frac{4}{{x + 1}},$ ta được:

$B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.$

Vậy với $x = - \frac{1}{2}$ thì $B = 8.$

c) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ là ước của $4.$

Mà Ư$\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó: $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.$

Mà $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ nên $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Vậy để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

a) $2x - 1 - \left( {4x - 1} \right) = x + 6$

$2x - 1 - 4x + 1 = x + 6$

$2x - 4x - x = 6$

$- 3x = 6$

$x = - 2$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 2.$

b) $\frac{x}{3} + \frac{{x - 2}}{4} = 0{,}5x - 2{,}5$

$\frac{{4x}}{{12}} + \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{12}} = \frac{{12\left( {0{,}5x - 2{,}5} \right)}}{{12}}$

$4x + 3x - 6 = 6x - 30$

$4x + 3x - 6x = - 30 + 6$

$x = - 24$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 24.$

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: $12 - x.$

Độ lớn số ban đầu là: $10x + \left( {12 - x} \right).$

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: $12 - x$ và chữ số hàng đơn vị là $x.$ Số mới có độ lớn là: $10\left( {12 - x} \right) + x.$

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

$\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18$

$10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18$

$$10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120$$

$18x = 126$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là $12 - 7 = 5.$

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

1) Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Do tam giác $ABM$ vuông tại $B,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = {5{,}6^2} + {8{,}4^2} = 31{,}36 + 70{,}56 = 101{,}92$$

Suy ra $AB = \sqrt {101{,}92} \,\,\left( {\rm{m}} \right).$

• Do tam giác $CDH$ vuông tại $H,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$C{D^2} = C{H^2} + D{H^2} = {16{,}2^2} + {10{,}8^2} = 262{,}44 + 116{,}64 = 379{,}08$$

Suy ra $CD = \sqrt {379{,}08} \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

• Ta có $AI = BH = BM + MC + CH = 8{,}4 + 24 + 16{,}2 = 48{,}6$ (m).

$DI = DH--HI = DH--AB = 10{,}8--5{,}6 = 5{,}2$ (m).

Do tam giác $ADI$ vuông tại $I,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$A{D^2} = A{I^2} + D{I^2} = {48{,}6^2} + {5{,}2^2} = 2{\rm{ }}361{,}96 + 27{,}04 = 2{\rm{ }}389$$

Suy ra $AD = \sqrt {2\,389} \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

• Chu vi tứ giác $AMCD$ là:

$AM + MC + CD + DA =$$\sqrt {101{,}92} + 24 + \sqrt {379{,}08} + \sqrt {2389} \approx 102{,}4$ (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng $102{,}4{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

2)

a) Vì $O$ là giao điểm ba đường trung trực nên $OM \bot AB.$

Lại có $AH \bot BC$ $(H$ là trực tâm) nên $AH\,{\rm{//}}\,OM.$

Tương tự, $BH\,{\rm{//}}\,ON.$

Do đó $\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác $BAC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC.$

Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,AB,$ $MN = \frac{1}{2}AB.$

Suy ra $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta HAB$ có:

$\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ và $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$

Do đó $ΔOMN∽ΔHAB$ (g.g).

b) Vì $ΔOMN∽ΔHAB$ (câu a) nên $\frac{OM}{HA}=\frac{NO}{HB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $(1)$

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC,$ $AM$ là trung tuyến nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ hay $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta GHA$ có:

$\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}$ và $\widehat {OMG} = \widehat {HAG}$ (so le trong của $AH\,{\rm{//}}\,OM)$

Do đó $ΔGOM∽ΔGHA$ (c.g.c).

c) Vì $ΔGOM∽ΔGHA$ (câu b) nên $\widehat{OGM}=\widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .$

Do đó 3 điểm $O;\,\,G;\,\,H$ thẳng hàng.

Mặt khác, $ΔGOM∽ΔGHA$ nên $\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},$ suy ra $GH = 2GO.$

Hướng dẫn giải

Đặt $a - b = x,\,\,b - c = y,\,\,c - a = z.$ Khi đó $x + y + z = 0.$

Ta có $S = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}} + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}$

$= \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} + \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}$

$= \frac{{2yz + 2xz + 2zy + {x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xyz}} = \frac{0}{{xyz}} = 0.$

Vậy $S = 0.$