Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức $\frac{{5x}}{{x - x}} = \frac{{5x}}{0}$ không phải là phân thức vì có mẫu thức bằng $0.$

Phân thức $\frac{2}{{1:x}}$ không phải là phân thức vì có mẫu thức không phải là đa thức.

Vậy chỉ có hai biểu thức $\frac{{xy}}{{xy}};\,\,\frac{1}{x}$ là phân thức.S

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{{1 - x}}{{y - x}} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{{ - \left( {y - x} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức $- \frac{x}{{x - 2y}}$ là $- \left( { - \frac{x}{{x - 2y}}} \right) = \frac{x}{{x - 2y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 1;\;\,\,y = - 1$ vào biểu thức $A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2,$ ta được:

$$A = \frac{1}{{ - 1}} + \frac{{ - 1}}{1} + 2 = - 1 + \left( { - 1} \right) + 2 = 0.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $ax + b = 0$ chưa phải là phương trình bậc nhất một ẩn, để là phương trình bậc nhất một ẩn cần thêm điều kiện $a \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình $\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2$ có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0,$ tức là $m - 2 \ne 0$ và $m + 2 \ne 0,$ nên $m \ne 2$ và $m \ne - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta DRF$ và $\Delta FSR$ có: $\widehat {RFS} = \widehat {FDR}$ và $\frac{{DF}}{{FR}} = \frac{4}{5} = \frac{6}{{7{,}5}} = \frac{{DR}}{{FS}}$

Do đó $ΔDRF∽ΔFSR$ (c.g.c).

Suy ra $\frac{{FR}}{{RS}} = \frac{{DF}}{{FR}} = \frac{4}{5}$ (tỉ số các cạnh tương ứng).

Hay $\frac{5}{{RS}} = \frac{4}{5},$ nên $RS = \frac{{5 \cdot 5}}{4} = 6{,}25{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên ta có $BA = BC,$ $AC$ là cạnh huyền có độ dài lớn nhất và $A{C^2} = B{A^2} + B{C^2}$ (định lí Pythagore).

Do đó ${\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} = 2B{A^2},$ suy ra $A{B^2} = 100,$ nên $AB = 10{\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ ${x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).$

⦁ $\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 0$ và $x \ne 2.$

b) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)$$

$$= \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$$

Vì vậy, với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$

Khi đó $D > 0$ tức là $\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,$ do đó $- 3x + 4 > 0$ vì $4 > 0.$

Suy ra $3x < 4,$ nên $x < \frac{4}{3}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta được $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0.$

Vậy với $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0$ thì $D > 0.$

c) Để $D$ là số nguyên âm lớn nhất thì $D = - 1,$ khi đó:

$\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1$

$- 3x + 4 = - 4$

$- 3x = - 8$

$x = \frac{8}{3}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy với $x = \frac{8}{3}$ thì $D$ có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) $- \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1$

$- \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x = - 1 - 2$

$- 3x = - 3$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

b) $\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} = - 2$

$\frac{{5x}}{{100}} - \frac{{4\left( {x - 10} \right)}}{{100}} = - \frac{{200}}{{100}}$

$5x - 4x + 40 = - 200$

$x = - 240$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 240.$

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút $= \frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 3} \right).$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là $\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)$ (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là $2\left( {x--3} \right)$(km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

$$\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)$$

$$4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)$$

$$4x + 12 = 6x - 18$$

$$4x - 6x = - 18 - 12$$

$$- 2x = - 30$$

$x = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$ km/h.

Hướng dẫn giải

1)

Từ $D$ vẽ $Dx \bot CD$ cắt tia $AB$ tại $E.$

Xét tứ giác $BCDE$ có $\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ$ nên $BCDE$ là hình chữ nhật.

Do đó $DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.$

Có $AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;cm}}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ADE$ vuông tại $E,$ ta được: $A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.$

Suy ra $AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;cm}}.$

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng $AD$ là $\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15$ (giây).

2)

a) Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$ $\left( 1 \right)$ (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}$ $\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)

$\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}$ $\left( 3 \right)$ (hai góc kề bù)

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}$

Do đó $ΔCHB∽ΔCKD$ (g.g).

Suy ra $\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có $\widehat {ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$$\left( 4 \right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\,{\rm{//}}\,AD$ và $AB = CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK \bot AD$ nên $CK \bot BC$ nên $\widehat {BCK} = 90^\circ .$

Do đó $\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$ $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.$

Theo câu a, $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ mà $AB = CD$ nên $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat {KCH} = \widehat {ABC}$ và $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}$

Do đó $ΔCHK∽ΔBCA$ (c.g.c).

c) Kẻ $BE \bot AC$ tại $E$ $\left( {E \in AC} \right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {HAC}$ là góc chung.

Do đó $ΔAEB\ ∽\ ΔAHC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB \cdot AH = AC \cdot AE$$\left( 6 \right)$

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ$ và $\widehat {BCE} = \widehat {CAK}$ (hai góc so le trong, $BC\,{\rm{//}}\,DA)$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC \cdot AK = AC \cdot CE$

Mà $BC = AD$ nên $AD \cdot AK = AC \cdot CE$ $\left( 7 \right)$

Từ $\left( 6 \right)$ và $\left( 7 \right)$ suy ra: $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE$

Hay $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.$

d) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,NC$ nên $ΔINC∽ΔIDA,$ do đó $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 8 \right)$

Vì $AM\,{\rm{//}}\,DC$ nên $ΔIDC∽ΔIMA,$ do đó $\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 9 \right)$

Từ $\left( 8 \right)$ và $\left( 9 \right)$ suy ra $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},$ nên $IM \cdot IN = I{D^2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{1}{{a\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{c\left( {{b^2} - bc - {a^2} + ac} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{c\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)} \right] + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {ac + bc - {c^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}$

$= \frac{1}{{abc}}.$

Vậy $A = \frac{1}{{abc}}.$