Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\frac{x}{0}$ không phải phân thức vì mẫu thức là đa thức không.

Biểu thức $\frac{{x + y}}{{\frac{1}{y}}}$ và $\frac{1}{{\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy}}}}$ không phải là phân thức thì mẫu thức không phải là đa thức.

Biểu thức $\frac{{{x^2} + y}}{{\frac{1}{2}y}}$ là đa thức vì ${x^2} + y$ và $\frac{1}{2}y$ đều là đa thức khác đa thức 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với điều kiện phân thức có nghĩa, ta có $\frac{{ - 2xy}}{{6{x^3}{y^2}}} = \frac{{2xy \cdot \left( { - 1} \right)}}{{2xy \cdot 3{x^2}y}} = \frac{{ - 1}}{{3{x^2}y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phân thức đối của phân thức $\frac{{2 - x}}{{3x}}$ là $- \frac{{2 - x}}{{3x}} = \frac{{x - 2}}{{3x}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}$ cần chứa hai nhân tử là $x$ và ${y^2}.$

Mà ta thấy lũy thừa cao nhất của biến $y$ ở đa thức $x\left( {x + 1} \right)y$ (phương án C) là 1 nên $x\left( {x + 1} \right)y$ không phải mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $2x + {x^2} = 0$ không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì có chứa lũy thừa bậc hai của ẩn $x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $12 - 6x = 0$

$- 6x = - 12$

$x = 2.$

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $AH,\,\,DK$ lần lượt là hai đường cao của hai tam giác $ABC,\,\,DEF.$

Vì $ΔABC∽ΔDEF$ nên $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta ABH$ (vuông tại $H)$ và $\Delta DEK$ (vuông tại $K)$ có: $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$ nên $ΔABH∽ΔDEK.$

Suy ra $\frac{{AH}}{{DK}} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Kẻ $CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right).$

Xét tứ giác $ADCH$ có:

$$\widehat {DAH} = \widehat {ADC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$$

Suy ra, tứ giác $ADCH$ là hình chữ nhật.

Nên $CH = AD = 8{\rm{\;cm}},\,\,AH = DC = 14{\rm{\;cm}}.$

Vì $AB = AH + HB$ nên $HB = AB - AH = 20--14 = 6{\rm{\;cm}}.$

Xét tam giác $CBH$ vuông tại $H,$ áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$B{C^2} = H{C^2} + H{B^2} = {8^2} + {6^2} = 100$$

Suy ra $BC = 10{\rm{\;cm}}.$

Chu vi hình thang $ABCD$ là: $AB + BC + CD + DA = 20 + 10 + 14 + 8 = 52{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

b) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1$$

$$= \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1$$

$$= \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$

Ta có $\left| {4 - x} \right| = 2$

Trường hợp 1. $4 - x = 2$

$x = 2$ (không thoả mãn).

Trường hợp 1. $4 - x = - 2$

$x = 6$ (thoả mãn).

Thay $x = 6$ vào biểu thức $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},$ ta được: $M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.$

Vậy $M = \frac{{10}}{9}$ khi $\left| {4 - x} \right| = 2.$

c) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.$

Đặt $\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),$ khi đó:

$$M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)$$

$$= - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.$$

Vì ${\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0$ nên $- 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,$ do đó $P \le \frac{9}{8}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $t - \frac{1}{4} = 0,$ tức là $t = \frac{1}{4}$ (thoả mãn).

Với $t = \frac{1}{4},$ ta có $\frac{1}{x} = \frac{1}{4},$ suy ra $x = 4.$

Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $\frac{9}{8}$ khi $x = 4.$

Hướng dẫn giải

a) $x - 4x + 2x - 29 = 4x + 1$

$x - 4x + 2x - 4x = 1 + 29$

$- 5x = 30$

$x = - 6$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 6.$

b) $\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2$

$\frac{3}{2} + 4x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x + 2$

$4x - \frac{1}{3}x = 2 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3}$

$\frac{{11}}{3}x = \frac{7}{6}$

$x = \frac{7}{{22}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{7}{{22}}.$

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x\,\,\left( \% \right)$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20\,\,\left( \% \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x + 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\%$

$2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5$

$5x = 225$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\% .$

Hướng dẫn giải

1) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông $AMO,\,\,ONC,\,\,OMD,\,\,OBE,$ ta tính được:

⦁ $O{A^2} = {3^2} + {4^2} = 25$ hay $OA = 5{\rm{\;m;}}$

⦁ $O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$ hay $OC = 10{\rm{\;m}};$

⦁ $O{D^2} = {3^2} + {8^2} = 73$ hay $OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}};$

⦁ $O{B^2} = {4^2} + {6^2} = 52$ hay $OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Vì $OA = 5{\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OC = 10{\rm{\;m}} > 9{\rm{\;m}}{\rm{,}}$ nên chú cún có thể đến các vị trí $A,\,\,D,\,\,B$ nhưng không thể đến được vị trí $C.$

2)

a) Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACB}$ là góc chung.

Do đó $ΔADC∽ΔBEC$ (g.g).

b) Xét $\Delta HEA$ và $\Delta HDB$ có:

$\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ$ và $\widehat {AHE} = \widehat {BHD}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔHEA∽ΔHDB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $HE \cdot HB = HA \cdot HD.$

c) Vì $H$ là giao điểm của hai đường cao $AD,\,\,BE$ của tam giác $ABC$ nên $H$ là trực tâm của tam giác, nên $CH \bot AB,$ hay $\widehat {AFC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AFH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ và $\widehat {DAB}$ là góc chung

Do đó $ΔAFH∽ΔADB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AF \cdot AB = AD \cdot AH.$

d) Ta có $\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.$

Tương tự: $\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};$ $\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.$

Khi đó $\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}$$= \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}$

Đặt $a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z.$

Khi đó $M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.$

Mặt khác, từ $a + b + c = 6$ suy ra $\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0$

Hay $x + y + z = 0$

Suy ra $x + y = - z$

$${\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}$$

${x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = - {z^3}$

${x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = - {z^3}$

${x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz$

Do đó $M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.$

Vậy $M = 3.$