Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 07

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức có tử thức là $2x - 1$ và mẫu thức là ${x^2} - 1,$ là $\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 1}}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có ${x^2} - 16 = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)$

Do đó $\frac{x}{{x - 4}} = \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 16}}.$

Vậy $A = {x^2} + 4x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mẫu thức chung của hai phân thức đó là $2{x^3}{y^3}{\left( {y - 1} \right)^2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{x}{y}:\frac{{2x}}{y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{{2x}} = \frac{{x \cdot y}}{{y \cdot 2x}} = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0.$

Do đó phương trình $2x - {2^2} = 0$ hay $2x - 4 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $2x - 3 = 4 + 2x$

$2x - 2x - 3 - 4 = 0$

$0x - 7 = 0$

$0x = 7$

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat {A\,\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ ,$ khi đó để suy ra được $ΔABC∽ΔDEF$ thì cần thêm điều kiện về góc: $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$ hoặc $\widehat {C\,} = \widehat {F\,}.$

⦁ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ .$

Xét $DEF$ vuông tại $D$ có $\widehat {E\,} + \widehat {F\,} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = \widehat {E\,} + \widehat {F\,}.$ $\left( 1 \right)$

Nếu ta có $\widehat {B\,} - \widehat {C\,} = \widehat {E\,} - \widehat {F\,}$ $\left( 2 \right)$ thì cộng vế theo vế của $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $2\widehat {B\,} = 2\widehat {E\,},$ suy ra $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}.$

Vậy nếu thêm điều kiện $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = \widehat {E\,} + \widehat {F\,}$ không suy ra được $ΔABC∽ΔDEF.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ theo định Pythagore ta có: $A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}$

Suy ra $A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144$

Do đó $AD = 12\,{\rm{\;cm}}.$

⦁ Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D,$ theo định Pythagore ta có: $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2}$

Suy ra $D{C^2} = A{C^2} - A{D^2} = {15^2} - {12^2} = 81$

Do đó $CD = 9\,{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,$ tức là $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

Vậy biểu thức $A$ xác định khi $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

b) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có:

$A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$$= \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$$

Vậy $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ thì $A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$

Ta có: ${x^2} - 9 = 0$

$$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x = 3$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $x = - 3$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $x = 3$ vào biểu thức $A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},$ ta được: $A = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.$

Vậy $A = - 1$ khi ${x^2} - 9 = 0.$

c) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có: $A = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $A$ cũng có giá trị nguyên thì $x - 2$ là ước của $2.$

Mà Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Theo bài, $A$ có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên $A = 3.$

Vậy $x = 1$ thì $A$ đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là $A = 3.$

Hướng dẫn giải

a) $x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4$

$$x - 6 + 3x = 2x - 4$$

$$x + 3x - 2x = 6 - 4$$

$$2x = 2$$

$$x = 1$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

b) $\frac{1}{3}\left( {x - 1} \right) + 4 = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)$

$$2\left( {x - 1} \right) + 24 = 3\left( {x + 5} \right)$$

$$2x - 2 + 24 = 3x + 15$$

$2x - 3x = 15 + 2 - 24$

$$- x = - 7$$

$$x = 7$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 7.$

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left( {x > 0} \right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x - 5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $= 4{,}8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4{,}8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $= 1{,}8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4{,}8 - 1{,}8 = 3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left( {x - 5} \right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4{,}8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87$

$4{,}8x = 3x - 15 + 87$

$4{,}8x - 3x = - 15 + 87$

$1{,}8x = 72$

$x = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40 - 5 = 35$ km/h.

Hướng dẫn giải

1) Hình vẽ bên mô tả bậc tam cấp.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {85^2} - {35^2} = 6\,\,000.$

Do đó $AC = \sqrt {6\,\,000} \approx 77{,}46{\rm{\;cm}} < 80{\rm{\;cm}}.$

Vậy bậc tam cấp nhà bạn Thanh phù hơp với quy định của khu phố.

2)

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta ADK$ có $AD\,{\rm{//}}\,CN$ (do $AD\,{\rm{//}}\,BC)$ nên $ΔADK∽ΔCNK$ (g.g).

b) Xét $\Delta KAM$ có $AM\,{\rm{//}}\,CD$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD)$ nên $ΔKAM∽ΔKCD$ (g.g).

Mà $ΔADK∽ΔCNK$ (câu a) nên $\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{AK}}{{CK}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KD}}$ nên $K{D^2} = KM \cdot KN.$

c) Do $ΔADK∽ΔCNK$ nên $\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AD}}{{CN}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do $ΔKAM∽ΔKCD$ nên $\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AM}}{{CD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{{AD}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}}$ hay $\frac{9}{{CN}} = \frac{6}{{10}},$ do đó $CN = \frac{{9 \cdot 10}}{6} = 15$ (cm).

Hướng dẫn giải

Với $a \ne b \ne c \ne 0,$ từ $\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0,$ suy ra:

$\frac{a}{{b - c}} = \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{b - a}} = \frac{{b\left( {b - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{c\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}}.$

Nhân hai vế với $\frac{1}{{b - c}}$ ta được:

$\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.$

Tương tư, ta có: $\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}};\,\,\frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}.$

Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta được:

$\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}$

$= \frac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{c^2} - bc + ab - {a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{a^2} - ca + bc - {b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}$

$= \frac{0}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0.$

Vậy $\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0.$