Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 06

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - x + 1}}{{ - x - 1}} = \frac{{1 - x}}{{ - x - 1}}.$

Vậy phân thức $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ bằng phân thức $\frac{{1 - x}}{{ - x - 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{2{x^3}{y^2}}}{5} = \frac{{7xy \cdot 2{x^3}{y^2}}}{{7xy \cdot 5}} = \frac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức $\frac{{3x}}{{x + y}}$ là $- \frac{{3x}}{{x + y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với các giá trị của $x$ làm cho biểu thức xác định ta có:

⦁ Phân thức $\frac{1}{{{x^2}y}}$ có mẫu là ${x^2}y = xy \cdot x.$

⦁ Phân thức $\frac{1}{{2xy}}$ có mẫu là $2xy = xy \cdot 2.$

Do đó mẫu chung của hai phân thức $\frac{1}{{{x^2}y}}$ và $\frac{1}{{2xy}}$ là $xy \cdot x \cdot 2 = 2{x^2}y.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình $ax + b = 0$ là một phương trình bậc nhất một ẩn $(a,\,\,b$ là những hằng số) khi và chỉ khi $a \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay $x = - 4$ vào từng phương trình, ta được:

⦁ $- 2{,}5 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 = 11,$ do đó $x = - 4$ là nghiệm của phương trình $- 2{,}5x + 1 = 11.$

⦁ $- 2{,}5 \cdot \left( { - 4} \right) = 10 \ne - 10,$ do đó $x = - 4$ không là nghiệm của phương trình $- 2{,}5x = - 10.$

⦁ $3 \cdot \left( { - 4} \right)--8 = - 20 \ne 0,$ do đó $x = - 4$ không là nghiệm của phương trình $3x--8 = 0.$

⦁ $3 \cdot \left( { - 4} \right)--1 = - 13 \ne \left( { - 4} \right) + 7 = 3,$ do đó $x = - 4$ không là nghiệm của phương trình $3x--1 = x + 7.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ΔABC∽ΔDEF$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{3},$ nên ta có suy ra $DE = 3AB = 3 \cdot 9 = 27{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 8{\rm{\;cm}}$ và $BD = 6{\rm{\;cm}}$ vuông góc với nhau.

Do đó $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD.$

Suy ra $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3{\rm{\;cm;}}$

$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $O,$ có $A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25.$

Do đó $AB = 5{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có ${x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).$

${x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là ${x^2} - 4 \ne 0,$ $x - 1 \ne 0$ hay $x - 2 \ne 0,$ $x + 2 \ne 0$ và $x - 1 \ne 0$, tức là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

b) Với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ ta có:

$$A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)$$

$= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$$= \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}$

$$= \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.$$

Vậy với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ thì $A = \frac{1}{{x - 2}}.$

c) Ta có $\left| {x + 3} \right| = 1$ suy ra $x + 3 = 1$ hoặc $x + 3 = - 1$

Do đó $x = - 2$ (không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay $x = - 4$ vào biểu thức $A = \frac{1}{{x - 2}},$ ta được: $A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $A = - \frac{1}{6}$ khi $\left| {x + 3} \right| = 1.$

Hướng dẫn giải

a) $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

${x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4$

${x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4$

$4x = 33$

$x = \frac{{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{33}}{4}.$

b) $\frac{{2x - 1}}{5} - \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{x + 7}}{{15}}$

$3\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {x - 2} \right) = x + 17$

$6x - 3 - 5x + 10 = x + 17$

$0x = 10$ (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$ (tấn) $\left( {x > 0} \right).$

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là $\frac{x}{{20}}$ (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là $x + 10$ (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20 + 6 = 26$ (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là $\frac{{x + 10}}{{26}}$ (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

$\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}$

$13x - 260 = 10x + 100$

$13x - 10x = 100 + 260$

$3x = 360$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

1)

Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $ED.$

Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác $BCDF,$ tứ giác này có $\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Mà $CD = CB = 300$ m nên hình chữ nhật $BCDF$ là hình vuông.

Do đó $BC = CD = DF = FB = 300$ (m) và $\widehat {BFD} = 90^\circ .$

Ta có $AF = AB + BF = 900 + 300 = 1\,\,200$ (m); $EF = FD + DE = 300 + 200 = 500$ (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta AEF$ vuông tại $F$ ta có:

$A{E^2} = A{F^2} + E{F^2}$$= 1\,\,{200^2} + {500^2} = 1{\rm{ }}690{\rm{ }}000.$

Suy ra $AE = \sqrt {1{\rm{ }}690{\rm{ }}000} = 1\,\,300$ (m) $= 1{,}3$ (km).

Thời gian đi hết quãng đường $AE$ là: $\frac{{1{,}3}}{{13}} = 0{,}1$ (giờ) $= 6$ (phút).

Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc $7$ giờ $6$ phút.

2)

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {BAE}$ là góc chung;

$$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).$$

Do đó $ΔABE∽ΔADC$ (c.g.c).

b) Vì $ΔABE∽ΔADC$ (câu a) nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}$

Suy ra $AB \cdot DC = AD \cdot BE.$

Do đó $DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12{,}5{\rm{\;cm}}.$

c) Vì $ΔABE∽ΔADC$ (câu a) nên $\widehat{AEB}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta CBI$ và $\Delta EDI$ có:

$\widehat {BCI} = \widehat {DEI}$ (do $\widehat {AEB} = \widehat {ACD})$ và $\widehat {BIC} = \widehat {DIE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $ΔCBI∽ΔEDI$ (g.g).

Suy ra $\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $IB \cdot IE = ID \cdot IC.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $a,\,\,b,\,\,c \ne 0.$

Với $a + b + c = 0,$ ta có $a + b = - c;\,\,b + c = - a;\,\,c + a = - b.$

Ta có $C = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right)$

$= \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}}_M + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{a}{{b - c}}}_N + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{b}{{c - a}}}_P$

Xét $M = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)$$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)}}{{ab}}$$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{ab}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{ - \left( {a - b} \right)\left( { - c - c} \right)}}{{ab}}$$= 1 + \frac{{c \cdot 2c}}{{ab}} = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}}.$

Tương tự, $N = 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}};\,\,P = 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}}.$

Khi đó $C = M + N + P = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}} = 3 + \frac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}.$

Mặt khác, do $a + b + c = 0$ nên ta có ${\left( {a + b + c} \right)^3} = 0$

Suy ra ${\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0$

$${a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.$$

Vậy $C = 3 + \frac{{2 \cdot \left( {3abc} \right)}}{{abc}} = 3 + 6 = 9.$