Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức $\frac{{2x}}{{x + y}}$ là $- \frac{{2x}}{{x + y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}$ là ${x^2} - 2x + 1 \ne 0,$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0,$ tức là $x \ne 1.$

Ta có $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0$ khi và chỉ khi ${x^2} - 1 = 0,$ suy ra $x = 1$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy $x = - 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mẫu thức chung của các phân thức $\frac{1}{{2x}};\,\,\frac{5}{{{x^2}}};\,\,\frac{7}{{2{x^3}}}$ là $2{x^3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, ta có: $\frac{x}{y}:\frac{{2x}}{y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{{2x}} = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $5x--\left( {6--x} \right) = 12$

$$5x--6 + x - 12 = 0$$

$$6x - 18 = 0$$

Vậy ta đưa được phương trình đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn là $6x--18 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4\left( {x--1} \right)--\left( {x + 2} \right) = --x$

$$4x--4--x - 2 = --x$$

$$4x--x + x = 4 + 2$$

$$4x = 6$$

$$x = \frac{3}{2}.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{3}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $MN\,{\rm{//}}\,AB$ (với $M \in BC,\,\,N \in CA)$ nên $ΔABC∽ΔNMC$ hay $ΔNMC∽ΔABC.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\frac{{AB}}{{DF}} = \frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}$ nên $ΔABC∽ΔDFE.$ (c.c.c).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{4}{{2{,}5}} = \frac{8}{5}$ và $\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{8}{5}.$

Do đó $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OD}}{{OB}}.$

Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OCB$ có:

$\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OD}}{{OB}}$ và $\widehat {BOD}$ là góc chung

Do đó $ΔOAD∽ΔOCB$ (c.g.c).

Suy ra $ΔDAO∽ΔBCO.$

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta ABC$ (vuông tại $A)$ và $\Delta HBA$ (vuông tại $H)$ có $\widehat{B\ }$ là góc chung nên $ΔABC∽ΔHBA.$

Suy ra $\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng). Do đó $BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}}.$

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ nên $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} = 256.$

Khi đó $BH = \frac{{256}}{{20}} = 12{,}8{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x - 1 \ne 0,$ $x + 1 \ne 0,$ $x \ne 0$ hay $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0.$

b) Với điều kiện $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{4x + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}$

$= \frac{{x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot x}}$$= \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.$

Vậy với $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ thì $P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.$

c) Với $x \ne 1,$ $x \ne - 1$ và $x \ne 0,$ ta có $P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} = 1 + \frac{5}{{x - 1}}.$

Với $x$ nguyên, để $P$ đạt giá trị nguyên thì $\frac{{2025}}{{x - 1}}$ là số nguyên

Do đó $5 \vdots \left( {x - 1} \right)$ hay $x - 1 \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ {1;0;6; - 4} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) $x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4$

$$x - 6 + 3x = 2x - 4$$

$$x + 3x - 2x = - 4 + 6$$

$$2x = 2$$

$$x = 1.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

b) $\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x$

$\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}$

$35x - 5 = 96 - 6x - 60x$

$35x + 6x + 60x = 96 + 5$

$101x = 101$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là $\frac{{100}}{2} = 50$ (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $x$ (m) $\left( {0 < x < 50} \right).$

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: $50 - x$ (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $x\left( {50 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là $x + 10$ (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là $50 - x - 10 = 40 - x$ (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: $\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

$x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$

$50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x$

$50x - 40x + 10x = 400$

$20x = 400$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;$ (m$^{2}$).

a) Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AD$ nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó

$BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60{\rm{\;cm}}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ ta có:

$A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},$ suy ra $A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.$

Do đó $AD = \sqrt {6\,\,400} = 80{\rm{\;cm}}.$

b) Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {DAC}$ (cùng phụ với $\widehat {ECB}).$

Do đó $ΔBDH∽ΔADC$ (g.g).

c) Theo câu b, $ΔBDH∽ΔADC$ suy ra $\widehat {BHD} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A),$ nên $\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ và $\widehat {BHD} = \widehat {ABD}$

Do đó $ΔBDH∽ΔADB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay $\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},$ suy ra $BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}$ và $DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.$

d) Ta có $AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {EBC}$ là góc chung.

Do đó $ΔBDH∽ΔBEC$ (g.g).

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta AEH$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ$ và $\widehat {BHD} = \widehat {AHE}$ (đối đỉnh).

Do đó $ΔBDH∽ΔAEH$ (g.g).

Mà $ΔBDH∽ΔADB$ nên $ΔAEH∽ΔADB$

Do đó $\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},$ suy ra $HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Với $a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a$ ta xét $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.$ $\left( 1 \right)$

Do $a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a$ nên $a + b + c \ne 0.$

Khi đó ta nhân hai vế của $\left( 1 \right)$ với $a + b + c$ thì được:

$\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

Hay $\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

Nên $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c$

Suy ra $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.$

Vậy $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.$