Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biểu thức $\frac{A}{B}$ là một phân thức nếu $A,\,\,B$ là các đa thức và $B$ khác đa thức 0.

Do đó biểu thức $\frac{{{x^2} - 4}}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với đa thức $B$ khác 0 ta có $\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức nghịch đảo của phân thức $- \frac{{3{y^2}}}{{2x}}$ là $- \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{3}{{2\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x - 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3x - \left( {x - 6} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{x}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để $x = - 2$ là nghiệm của phương trình $3x + k = x - 2$ thì $x = - 2$ thỏa mãn phương trình đó.

Do đó $3 \cdot \left( { - 2} \right) + k = - 2 - 2$

$- 6 + k = - 4$

$k = 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $ΔABC∽Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}$ nên $Δ{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}∽ΔABC,$ do đó $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}};\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}$ và $\widehat {B\,} = \widehat {B'\,};\,\,\widehat {A\,} = \widehat {A'}.$

Vậy phương án A là khẳng định sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{5}{3};$ $\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{7{,}5}}{{4{,}5}} = \frac{5}{3};$ $\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}.$

Suy ra: $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{5}{3}.$

Do đó $ΔABC∽ΔDEF$ (c.c.c) và tỉ số đồng dạng là $\frac{5}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ΔABC∽ΔMNP$ theo tỉ số là $\frac{2}{3},$ nên ta có $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = \frac{2}{3}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{MN + NP + PM}} = \frac{2}{3}.$

Hay $\frac{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta ABC}}{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta MNP}} = \frac{2}{3},$ nên $\frac{{40}}{{Chu{\rm{ }}vi{\rm{ }}\Delta MNP}} = \frac{2}{3}$

Do đó chu vi tam giác $MNP$ là: $40 \cdot \frac{3}{2} = 60{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$ và theo định lí Pythagore ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = A{C^2} + A{C^2} = 2A{C^2}.$

Vậy $B{C^2} = 2A{C^2}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;$$\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$

Xét $3x \ne 0$ ta có $x \ne 0.$

Xét $x + 1 \ne 0$ ta có $x \ne --1.$

Xét $\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$ ta có $2--4x \ne 0$ và $x + 1 \ne 0,$ hay $x \ne \frac{1}{2}$ và $x \ne --1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $D$ là $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}$.

Vậy với $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}$ thì $D = \frac{{x - 1}}{3}.$

c) Ta có $\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$

$2x - 1 = 0$ hoặc ${x^2} + 1 = 0$ (vô nghiệm do ${x^2} + 1 > 0$ với mọi $x)$

$x = \frac{1}{2}$

Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{2}$ là: $D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $D = - \frac{1}{6}$ khi $\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0.$

Hướng dẫn giải

a) $3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1$

$$3x - 6 - 2x + 4 = x + 1$$

$$3x - 2x - x = 1 + 6 - 4$$

$0x = 3$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) ${\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)$

$${x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x$$

$${x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9$$

$$2x = 4$$

$x = 2.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là $x$ (m) $\left( {x > 0} \right).$

Chu vi của hình vuông nhỏ là $4x$ (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là $4x + 20$ (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: $\frac{{4x + 20}}{4} = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{4} = x + 5$ (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là ${x^2}$ (m2) và diện tích của hình vuông lớn là ${\left( {x + 5} \right)^2}$ (m2).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng $65\;{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

${\left( {x + 5} \right)^2} - {x^2} = 65$

${x^2} + 10x + 25 - {x^2} = 65$

$10x = 40$

$x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: $4\;\,{\rm{m}}$ và $9\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.$

Suy ra $BC = 10{\rm{\;cm}}.$

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACB}$ là góc chung

Do đó $ΔABC∽ΔHAC$ (g.g).

c) Vì $ΔABC∽ΔHAC$ (câu b) ta có:

⦁ $\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $\frac{6}{{AH}} = \frac{{10}}{8},$ suy ra $AH = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4{,}8{\rm{\;cm}}.$

⦁ $\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{AC}}{{HC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $\frac{6}{{4{,}8}} = \frac{8}{{HC}},$ suy ra $HC = \frac{{4{,}8 \cdot 8}}{6} = 6{,}4{\rm{\;cm}}.$

Ta có $BC = HB + HC,$ suy ra $HB = BC - HC = 10 - 6{,}4 = 3{,}6{\rm{\;cm}}.$

d) Vì $EF\text{//}BC$ nên $ΔAEM∽ΔABH$ (định lí), do đó $\frac{{EM}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{3{,}2}}{{4{,}8}} = \frac{2}{3}.$

Tương tự, ta có $ΔAFM∽ΔACH$ (định lí), do đó $\frac{{MF}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{2}{3}.$

Do đó $EF = EM + MF = \frac{2}{3}BH + \frac{2}{3}HC = \frac{2}{3}\left( {BH + HC} \right) = \frac{2}{3}BC.$ Suy ra $\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}.$

Vì $EF\,{\rm{//}}\,BC$ và $AH \bot BC$ nên $AH \bot EF.$

Ta có $\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AM \cdot EF}}{{\frac{1}{2}AH \cdot BC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Suy ra ${S_{\Delta AEF}} = \frac{4}{9}{S_{\Delta ABC}} = \frac{4}{9} \cdot 24 = \frac{{32}}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Với $x \ne --y;$ $y \ne --z;$ $z \ne --x,$ ta có:

$A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}$

$= \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$

$= \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$

$= \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.$

Vậy $A = 0.$