Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đại số có tính chất $\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}},$ với $N \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{{5 - x}}{{11 - {x^2}y}} = \frac{{ - \left( {5 - x} \right)}}{{ - \left( {11 - {x^2}y} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{ - 11 + {x^2}y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{2x}}{{x + y}}$ là $\frac{{x + y}}{{2x}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{{x - 1}}{{x - y}} - \frac{{1 - y}}{{y - x}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - 1 + 1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - y}}{{x - y}} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta xét phương trình:

$$x + 2 = 0$$

$x = - 2.$

Do đó $x = - 2$ là nghiệm của phương trình $x + 2 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình $\left( {3m--4} \right)x + m = 3{m^2} + 1$ là phương trình bậc nhất ẩn $x$ khi và chỉ khi $3m - 4 \ne 0$ hay $m \ne \frac{4}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\widehat {A\,} = \widehat {D\,}$ và $\widehat {C\,} = \widehat {F\,}$ nên $ΔABC∽ΔDEF$ (g.g).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ΔMNP∽ΔRKS$ theo tỉ số $m$ nên $\frac{{MN}}{{RK}} = \frac{{MP}}{{RS}} = \frac{{NP}}{{KS}} = m,$ do đó $MN = mRK;\,\,MP = mRS;\,\,NP = mKS.$

Vậy phương án D là khẳng định sai. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì nên:

⦁ $\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{1}{2},$ do đó $EF = 2BC = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}.$

⦁ $\widehat {C\,} = \widehat {F\,} = 30^\circ ;$ $\widehat {D\,} = \widehat {A\,} = 80^\circ$ và $\widehat {E\,} = \widehat {B\,} = 70^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 = {13^2} = B{C^2}.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right);$

$$\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.$$

Khi đó biểu thức $P$ xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\\x \ne - \frac{1}{2}\end{array} \right..$

Vậy với $x \ne 1;\,\,x \ne - 1$ và $x \ne - \frac{1}{2}$ thì biểu thức $P$ xác định.

b) Với $x \ne 1;\,\,x \ne - 1$ và $x \ne - \frac{1}{2},$ ta có:

$$P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^{2\,}} + 2x + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$$

$$= \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {x + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}$$

$= \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2x + 1} \right)}}$$= \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.$

Vậy với $x \ne 1;\,\,x \ne - 1$ và $x \ne - \frac{1}{2}$ thì $P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.$

c) Thay $x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P = \frac{{x + 1}}{{x - 1}},$ ta được:

$P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.$

Vậy $P = 3$ khi $x = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0$

$\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{5}{3}.$

b) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}$

$\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}$

$8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x$

$8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21$

$23x = 55$

$x = \frac{{55}}{{23}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{55}}{{23}}.$

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right)$ thì tuổi của bố Minh hiện nay là $10x.$

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là $x + 24.$

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là $10x + 24.$

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

$10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)$

$10x + 24 = 2x + 48$

$10x - 2x = 48 - 24$

$8x = 24$

$x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

a) Ta có:

⦁ $AD = DE = EC = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 3a = a.$

⦁ $CD = DE + EC = a + a = 2a.$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.$

Suy ra $BD = a\sqrt 2 .$

Khi đó: $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2$ và $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .$

b) Theo câu a ta có $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \sqrt 2 .$

Xét $\Delta BDE$ và $\Delta CDB$ có:

$\widehat {CDB}$ là góc chung và $\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DC}}{{DB}}$

Do đó $ΔBDE∽ΔCDB$ (c.g.c).

c) Từ câu c, $ΔBDE∽ΔCDB$ suy ra $\widehat{DEB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương uwnsg0.

Do đó $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.$

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat {ADB}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ nên $\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}.$

Mà $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có $AB = AD = a$ nên là tam giác vuông cân tại $A,$ do đó $\widehat {ADB} = 45^\circ .$

Suy ra $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB} = \widehat {ADB} = 45^\circ .$

Vậy $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ .$

d) Ta có: $BD \cdot BI + CD \cdot CA = BD \cdot \left( {BD + DI} \right) + CD \cdot \left( {CD + AD} \right)$

$= B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD$

$= B{D^2} + BD \cdot DI + C{D^2} + CD \cdot AD$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ICD$ có $\widehat {BAD} = \widehat {CID} = 90^\circ$ và $\widehat {ADB} = \widehat {IDC}$ (đối đỉnh).

Do đó $ΔABD∽ΔICD$(g.g)

Suy ra $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AD}}{{IC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), nên $BD \cdot DI = CD \cdot AD.$

Khi đó $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{D^2} + 2BD \cdot DI + C{D^2}$

$= B{D^2} + 2BD \cdot DI + D{I^2} + C{D^2} - D{I^2}$

$= {\left( {BD + DI} \right)^2} + C{D^2} - D{I^2}$

$= B{I^2} + C{D^2} - D{I^2}$

Xét $\Delta ICD$ vuông tại $I,$ theo định lí Pythagore ta có $D{I^2} + I{C^2} = C{D^2}$

Suy ra $I{C^2} = C{D^2} - D{I^2},$ nên $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{I^2} + I{C^2}.$

Lại có, $B{I^2} + I{C^2} = B{C^2}$ (áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $BIC$ vuông tại $I).$

Vậy $BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có ${a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.$

Do đó ${S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{2024}}$

$${S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)$$

$$= 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.$$