Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$ trong đó $P,\,\,Q$ là những đa thức và $Q$ khác đa thức $0.$

Vậy biểu thức $\frac{{x + 1}}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức $\frac{3}{{x + 1}}$ là $- \frac{3}{{x + 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ $\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)$ thì ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với điều kiện biểu thức có nghĩa, ta có:

$\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{x - \frac{1}{x}}} = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right):\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = \frac{{x + 1}}{x}:\frac{{{x^2} - 1}}{x} = \frac{{x + 1}}{x} \cdot \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để phương trình $\left( {m + 2} \right)x + m + 6 = 0$ có nghiệm duy nhất thì $m + 2 \ne 0,$ tức là $m \ne - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DF}}$ suy ra $\frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\widehat {B\,} = \widehat {D\,}$ và $\frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}$ nên $ΔABC∽ΔEDF$ (c.g.c).

Do đó $ΔBAC∽ΔDEF.$ Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy đồng dạng. Do đó mệnh đề (I) là đúng.

Mệnh đề (II) là sai vì khi sử dụng điều kiện về cạnh thì ta cần ít nhất hai cặp tỉ số cạnh bằng nhau.

Vậy chỉ có (I) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ có $DE\,{\rm{//}}\,AB$ nên $ΔCDE∽ΔCBA$ (định lí)

Do đó $\frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CA}},$ suy ra $CD \cdot CA = CB \cdot CE.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $A{C^2} + B{C^2} = {12^2} + {5^2} = 169 = {13^2} = A{B^2}.$

Do đó, theo định lí Pythagore đảo, ta có $\Delta ABC$ vuông tại $C.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $25{x^2} - 1 = {\left( {5x} \right)^2} - 1 = \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right).$

Khi đó, biểu thức $A$ xác định khi và chỉ khi $2x - 3 \ne 0;$ $5x - 1 \ne 0;$ $5x + 1 \ne 0$ hay $x \ne \frac{3}{2};$ $x \ne \frac{1}{5};$ $x \ne - \frac{1}{5}.$

b) Với $x \ne \frac{3}{2};$ $x \ne \frac{1}{5};$ $x \ne - \frac{1}{5}$ ta có:

$A = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4x - 6}}{{25{x^2} - 1}}$

$= \frac{{\left( {5x + 1} \right) \cdot 2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}$$= \frac{2}{{5x - 1}}.$

Do đó $A = \frac{2}{{5x - 1}}.$

Từ $A \cdot B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}$ suy ra $B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:A = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:\frac{2}{{5x - 1}} = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}} \cdot \frac{{5x - 1}}{2} = \frac{{x + 2}}{2}.$

Vậy $B = \frac{{x + 2}}{2}.$

c) Thay $x = \frac{3}{5}$ vào biểu thức $B = \frac{{x + 2}}{2},$ ta được: $B = \frac{{\frac{3}{5} + 2}}{2} = \frac{{\frac{{13}}{5}}}{2} = \frac{{13}}{{10}}.$

Vậy với $x = \frac{3}{5}$ thì $B = \frac{{13}}{{10}}.$

Hướng dẫn giải

a) $15 - 4x = x - 5$

$x - 4x = - 5 - 15$

$- 5x = - 20$

$x = 4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4.$

b) ${\left( {x - 3} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2} - 5{x^2}$

${x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 - 2x + 2 = x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 5{x^2}$

${x^3} - 9{x^2} + 25x - 25 = {x^3} - 4{x^2} + 4x - 5{x^2}$

$21x = 25$

$x = \frac{{25}}{{21}}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{25}}{{21}}.$

Hướng dẫn giải

Đổi $20$phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là $x$ (km) $\left( {x > 0} \right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm $5$ km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $40 + 5 = 45$ (km/h).

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là $20$ phút $( = \frac{1}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}$

$9x - 8x = 120$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là $120$ km.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ$ và $\widehat B$ là góc chung.

Do đó $ΔABC∽ΔHBA$(g.g).

b) Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.$

Suy ra $BC = 10{\rm{\;cm}}.$ Theo câu a), nên $\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4{,}8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta ACD$ và $\Delta HCE$ có:

$\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACD} = \widehat {HCE}$ (do $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}).$

Do đó $ΔACD∽ΔHCE$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}$ (*)

d) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: $ΔCAH∽ΔCBA$ (g.g).

Mà $ΔABC∽ΔHBA$ hay $ΔCBA∽ΔABH$ nên $ΔABH∽ΔCAH\ (∽ΔCBA).$

Suy ra $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), do đó $BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4{,}8 = 3{,}6{\rm{\;cm}}.$

Khi đó $HC = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4{\rm{\;cm}}.$

⦁ Ta có $CD$ là phân giác $\widehat {ACB}$ nên $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},$ do đó $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.$$

Suy ra $AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}$ và $\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.$

Khi đó $HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6{,}4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.$

Ta có $\frac{{{S_{\Delta ACD}}}}{{{S_{\Delta HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6{,}4}} = \frac{{25}}{{16}}.$

Hướng dẫn giải

Với điều kiện phân thức có nghĩa, ta có:

$A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)z\left( {x + y + z} \right) - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {x + y} \right)z - 3xy} \right]}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx - 3xz - 3yz - 3xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}} = x + y + z.$$