Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}$ không phải phân thức vì $\frac{1}{{x - y}}$ không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức đối của phân thức $\frac{{3x}}{{x + y}}$ là $- \frac{{3x}}{{x + y}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phân thức nghịch đảo của phân thức $- \frac{{3{y^2}}}{{2x}}$ là $- \frac{{2x}}{{3{y^2}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{15{x^2}}}{{17{y^4}}} \cdot \frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{15{x^2} \cdot 34{y^5}}}{{17{y^4} \cdot 15{x^3}}} = \frac{{2y}}{x}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay $m = - 1$ vào phương trình $\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1$ ta có:

$\left[ {2 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x = - 1 + 1$

$0x = 0$ (luôn đúng).

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì nên ta có $\widehat {A\,\,} = \widehat {\,A'};\,\,\widehat {B\,} = \widehat {\,B'};\,\,\widehat {C\,\,} = \widehat {\,C'}.$

Vậy phương án A là khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu $ΔABC∽ΔDEF$ theo tỉ số $k$ thì $ΔDEF∽ΔABC$ theo tỉ số bằng $\frac{1}{k}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ (vuông tại $A)$ và $\Delta HAC$ (vuông tại $H)$ có $\widehat{C\ }$ là góc chung nên $ΔABC∽ΔHAC.$

Tương tự, ta cũng có $ΔABC∽ΔHBA.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

⦁ ${9^2} + {12^2} = 225 = {15^2},$ do đó bộ ba độ dài $9{\rm{\;cm}},{\rm{ }}12{\rm{\;cm}},{\rm{ }}15{\rm{\;cm}}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ ${7^2} + {8^2} = 113 \ne {10^2},$ do đó bộ ba độ dài $7{\rm{\;cm}},{\rm{ }}8{\rm{\;cm}},{\rm{ }}10{\rm{\;cm}}$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ ${6^2} + {7^2} = 85 \ne {9^2},$ do đó bộ ba độ dài $6{\rm{\;dm}},{\rm{ }}7{\rm{\;dm}},{\rm{ }}9{\rm{\;dm}}$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ ${10^2} + {13^2} = 269 \ne {15^2},$ do đó bộ ba độ dài $10{\rm{\;m}},{\rm{ }}13{\rm{\;m}},{\rm{ }}15{\rm{\;m}}$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $9 - {x^2} = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right).$

$$2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} = \frac{{2\left( {3 + x} \right) - \left( {x + 5} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{6 + 2x - x - 5}}{{3 + x}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.$$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\\2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne 3\\x \ne - 1\end{array} \right..$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne - 3,\,\,x \ne 3$ và $x \ne - 1.$

b) Với $x \ne - 3,\,\,x \ne 3$ và $x \ne - 1$ ta có:

$A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)$

$= \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}$

$= \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}$

$= \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$

$= \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$$= \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.$

Vậy với $x \ne - 3,\,\,x \ne 3$ và $x \ne - 1$ thì $A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.$

c) Với ${x^2} - x - 2 = 0$ ta có ${x^2} - 2x + x - 2 = 0$

$x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$

Suy ra $x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = 2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 1$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $x = 2$ vào biểu thức $A = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}$ ta được: $A = \frac{{ - 5}}{{2 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.$

Vậy nếu ${x^2} - x - 2 = 0$ thì $A = 5.$

Hướng dẫn giải

a) $5 - 2x = x + 11$

$- 2x - x = 11 - 5$

$- 3x = 6$

$x = - 2.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 2.$

b) $x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1$

$x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1$

${x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9$

$- 6x = 9$

$x = - 1{,}5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 1{,}5.$

Hướng dẫn giải

Gọi quãng đường AB dài $x$ (km) $\left( {x > 0} \right).$

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là: $\frac{x}{{30}}$ (giờ).

$\frac{3}{4}$ quãng đường AB là $\frac{3}{4}x$ (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường AB là $\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}$ (giờ).

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm $5$ km/h là: $45 + 5 = 50$ (km/h).

Quãng đường còn lại là: $1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}$ (km).

Thời gian xe con đi hết $\frac{1}{4}$ quãng đường AB là $\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}$ (giờ).

Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút $= \frac{{49}}{{20}}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}$

$\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}$

$\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1\,\,470}}{{600}}$

$7x = 1\,\,470$

$x = 210$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB dài $210$ km.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại theo định lí Pytagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100$ $A,$

Suy ra $BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.$

Vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên suy ra:

$$\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.$$

b) Theo đề bài, $CE \bot BD$ tại $E$ nên $\widehat {BEC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC)$

Do đó $ΔABD∽ΔEBC$ (g.g).

Suy ra: $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó $BD \cdot EC = AD \cdot BC.$

c) Từ $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$$\left( 1 \right)$

Vì $ΔABD∽ΔEBC$ (câu b) nên $\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},$ suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.$

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

⦁ $ΔCHE∽ΔBCE$ (g.g) nên $\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.$

Suy ra $CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)$

⦁ $ΔCDE∽ΔBCE$ (g.g) nên $\frac{ED}{EC}=\frac{CE}{BE}.$

Suy ra $ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $CH \cdot HB = ED \cdot EB.$

Hướng dẫn giải

Với $a,\,\,b,\,\,c \ne 0,$ ta có

$B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)$

$= ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + ca\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \left( {\frac{{abc}}{{{a^2}}} + \frac{{abc}}{{{b^2}}} + \frac{{abc}}{{{c^2}}}} \right)$

$= b + a + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + c + b + c + \frac{{ca}}{b} + a - \frac{{bc}}{a} - \frac{{ac}}{b} - \frac{{ab}}{c}$

$= 2\left( {a + b + c} \right).$

Vậy $B = 2\left( {a + b + c} \right).$