Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số $y = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}x + 5$ là hàm số bậc nhất thì $a = \frac{{m - 1}}{{m + 1}} \ne 0$ tức là $m - 1 \ne 0$ và $m + 1 \ne 0$ hay $m \ne 1$ và $m \ne - 1.$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì đồ thị hàm số $y = ax - 1$ đi qua điểm $\left( {1;2} \right)$ nên ta có:

$2 = a \cdot 1 - 1$

Suy ra $a = 3.$ Khi đó ta có hàm số $y = 3x - 1.$

Đồ thị hàm số $y = 3x - 1$ đi qua điểm có tung độ bằng $- 4$ nên ta có hoành độ của điểm này thỏa mãn:

$- 4 = 3x - 1,$ suy ra $3x = - 3$ nên $x = - 1.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khi $a > 0$ thì góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ là góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng $y = \left( {m - 1} \right)x + 3$ (với $m \ne 1)$ song song với đường thẳng $y = x$ thì $m - 1 = 1$ và $3 \ne 0$ (luôn đúng) hay $m = 2.$

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Một tam giác có 3 đường trung bình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ADB$ có $MP\,{\rm{//}}\,AB$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{DP}}{{BD}}$ (1)

Xét tam giác $CDB$ có $NP\,{\rm{//}}\,DC$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DP}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{CB}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{MD}}{{AD}} = \frac{{DP}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{CB}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}$ (tính chất đường phân giác). Suy ra $\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{28}}{{15 + 20}} = \frac{4}{5}.$$

Suy ra $x = DB = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5} \cdot 15 = 12{\rm{\;cm}}$ và $y = DC = \frac{4}{5}AC = \frac{4}{5} \cdot 20 = 16{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $DK = KF = 7{\rm{\;cm}},$ suy ra $K$ là trung điểm của $DF.$

Lại có $\widehat {DHK} = \widehat {DEF},$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $HK\,{\rm{//}}\,EF.$

Trong tam giác $DEF$ có $K$ là trung điểm của $DF$ và $HK\,{\rm{//}}\,EF$ nên $HK$ là đường trung bình của tam giác, do đó $H$ là trung điểm của $DE.$

Suy ra $HE = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6{,}5{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Công thức biểu thị số tiền $y$ (đồng) mà nhà bạn Mai phải trả khi sử dụng $x$ (m3) trong tháng 10/2023 với $x > 30$ là:

$$y{\rm{ }} = 7\,\,500 \cdot 10 + 8\,\,800 \cdot 10 + 12\,\,000 \cdot 10 + 24\,\,000\left( {x - 30} \right)$$

$$= 75{\rm{ }}000 + 88{\rm{ }}000 + 120{\rm{ }}000 + 24{\rm{ }}000x--720{\rm{ }}000$$

$= 24\,\,000x - 437\,\,000$ (đồng).

Vậy $y = 24\,\,000x - 437\,\,000$ (đồng).

b) Hàm số $y = 24\,\,000x - 437\,\,000$ là hàm số bậc nhất của $x$ vì mỗi giá trị của $x$ chỉ xác định đúng 1 giá trị của $y.$

c) Do nhà bạn Lan đã phải trả $427{\rm{ }}000$ đồng cho tiền nước tháng 11/2023 nên ta có:

$$24\,\,000x - 437\,\,000 = 427\,\,000$$

$$24\,\,000x = 864\,\,000$$

Suy ra $x = 36$ (m$^{3}$).

Vậy trong tháng 11/2023, nhà bạn Lan đã dùng 36 m$^{3}$ nước.

Hướng dẫn giải

Hàm số $y = \left( {m + 2} \right)x + 3$ là hàm số bậc nhất khi $m + 2 \ne 0,$ hay $m \ne --2.$

a) Đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng $y = --x$ khi $m + 2 = --1,$ tức là $m = --3$ (thỏa mãn điều kiện $m \ne --2).$

Với $m = --3$ ta có hàm số $y = --x + 3.$

Gọi $A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)$ là giao điểm của $\left( d \right)$ với đường thẳng $y = x + 1.$

Vì $A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( d \right):y = --x + 3$ nên ta có: ${y_A} = --{x_A} + 3,$ do đó $A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right).$

Vì $A\left( {{x_A};\,\,--{x_A} + 3} \right)$ thuộc đường thẳng $y = x + 1$ nên ta có:

$--{x_A} + 3 = {x_A} + 1,$ suy ra $2{x_A} = 2,$ do đó ${x_A} = 1.$

Suy ra ${y_A} = - 1 + 3 = 2.$

Vậy $A\left( {1;2} \right)$ là giao điểm của $\left( d \right):y = --x + 3$ với đường thẳng $y = x + 1.$

b) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số $y = --x + 3:$

Cho $x = 0,$ ta có $y = 3;$

Cho $y = 0,$ ta có $x = 3.$

Đồ thị hàm số $y = --x + 3$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;{\rm{ }}3} \right)$ và $\left( {3;{\rm{ }}0} \right).$

⦁ Vẽ đồ thị hàm số $y = x + 1:$

Cho $x = 0,$ ta có $y = 1;$

Cho $y = 0,$ ta có $x = - 1.$

Đồ thị hàm số $y = x + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;\,\,1} \right)$ và $\left( { - 1;\,\,0} \right).$

Ta có đồ thị hai hàm số như sau:

c)

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = x + 1$ với trục hoành $Ox$ là $B\left( {--1;0} \right).$ Do đó $OB = \left| { - 1} \right| = 1.$

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = --x + 3$ với trục hoành $Ox$ là $C\left( {3;0} \right).$ Do đó $OC = \left| 3 \right| = 3.$

Khi đó $BC = BO + OC = 1 + 3 = 4.$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A\left( {1;2} \right)$ xuống trục hoành.

Khi đó $AH = \left| {{y_A}} \right| = 2$ và $AH$ là đường cao của tam giác $ABC.$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ (đơn vị diện tích).

1)

a) Xét $\Delta ABC$ có $AB \bot AC;\,\,IN \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,IN.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IN$ là đường trung bình của tam giác, do đó $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $ADCI$ có: $N$ là trung điểm của $ID,\,\,AC$ nên $ADCI$ là hình bình hành.

Lại có $IN \bot AC$ hay $ID \bot AC$ nên hình bình hành $ADCI$ là hình thoi.

b)

Kẻ $IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),$ mà $I$ là trung điểm của $BC,$ nên $IH$ là đường trung bình của $\Delta BKC.$ Do đó $H$ là trung điểm của $KC$ hay $KH = HC\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta DIH$ có $N$ là trung điểm của $DI$ và $NK\,{\rm{//}}\,IH$ (do $BK\,{\rm{//}}\,IH)$ nên $NK$ là đường trung bình của $\Delta DIH,$ suy ra $K$là trung điểm của $DH$ hay $DK = KH\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $DK = KH = HC.$ Do đó $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

2) a) Trong $\Delta ABD$ có: $AM$ là phân giác của góc $\widehat {BAD}$ nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Tương tự: trong $\Delta ADC$ có $DN$ là phân giác góc $\widehat {ADC}$ nên $\frac{{DC}}{{DA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

Mà $AB = DC$ (do $ABCD$ là hình bình hành) suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

b) Theo câu a, $\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ suy ra $\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1$ hay $\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}$

Suy ra $\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}$ $\left( 1 \right)$

Mà $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường, suy ra $BD = 2DO,$ $AC = 2AO$ $\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}$ hay $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$

Xét $\Delta OAD$ có $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$ nên $MN\,{\rm{//}}\,AD$ (định lí Thalès đảo).