Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 7)

Đáp án đúng là: A

Vì ${F_1}^\prime \left( x \right) = {\left( {{x^3} + {x^2} - 4} \right)^\prime } = 3{x^2} + 2x$ nên ${F_1}\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4$ nào là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{e^x}}}} dx = - \int\limits_1^2 {{e^{ - x}}} d\left( { - x} \right) = \int\limits_2^1 {{e^{ - x}}} d\left( { - x} \right) = \left. {{e^{ - x}}} \right|_2^1 = \left. {\frac{1}{{{e^x}}}} \right|_2^1$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}$$= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.

Đáp án đúng là: B

${S_D} = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right| = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

$I = \int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2x + 1}}d\left( {2x + 1} \right)} = \left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^2 = \ln 5$.

Đáp án đúng là: B

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx}$$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A\left( {2; - 1;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)$ là

$2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 3y - z + 2 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\left( Q \right)//\left( P \right)$ nên $\left( Q \right):3x - 2y + 4z + D = 0$.

Vì $A \in \left( Q \right)$ nên $3.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 3} \right) + D = 0 \Leftrightarrow D = 4$.

Vậy $\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $f\left( 2 \right) = 2.2 + {e^2} = 4 + {e^2}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C$.

c) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C$ mà $F\left( 0 \right) = 2025$ nên $1 + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024$.

d) $f'\left( x \right) = 2 + {e^x}$

Ta có $\int {xf'\left( {{x^2}} \right)dx} = \int {x\left( {2 + {e^{{x^2}}}} \right)dx = \int {2xdx} + \int {x{e^{{x^2}}}dx} = {x^2} + \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hiệu số $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ gọi là tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f\left( x \right)$.

$\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

b) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

c) $\int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

d) Có $S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là $x = 0$ và $x = 2$.

b) Giả sử $\left( P \right):y = a{x^2} + bx$ (vì $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $c = 0$).

Vì $\left( P \right)$ đi qua $\left( {2;0} \right)$ và $\left( {1;1} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 0\\a + b = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right.$.

Do đó $\left( P \right):y = - {x^2} + 2x$.

c) $S = \int\limits_0^2 {\left| { - {x^2} + 2x} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)dx}$$= \frac{4}{3}$.

d) $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( { - {x^2} + 2x} \right)}^2}dx}$$= \frac{{16\pi }}{{15}}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {3;2;5} \right)$.

Vì $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $\left( \alpha \right)$ đi qua $I\left( {3;2;5} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 4} \right) = - 2\left( { - 1;1;2} \right)$.

Do đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( { - 1;1;2} \right)$.

c) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $I\left( {3;2;5} \right)$ và có $\overrightarrow n \left( { - 1;1;2} \right)$ là vectơ pháp tuyến có dạng là:

$- \left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0$ hay $- x + y + 2z - 9 = 0$.

Suy ra $a = - 1;b = 1;c = 2$. Do đó $a + b + c = 2$.

d) $d\left( {C,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.2 - 9} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6$.

Có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\sin 2xdx} = - \frac{{\cos 2x}}{2} + C$.

Mà $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $f\left( x \right) = - \frac{{\cos 2x}}{2}$.

Lại có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = - \int {\frac{{\cos 2x}}{2}dx = - \frac{1}{4}\sin 2x + {C_1}}$.

Vì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$ nên $- \frac{1}{4}\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2$.

Vậy $F\left( x \right) = - \frac{1}{4}\sin 2x + 2$. Do đó $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2.\frac{\pi }{4}} \right) + 2 = \frac{{ - 1}}{4} + 2 = \frac{7}{4} = 1{,}75$.

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = } }$$\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} }$

$= \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2$$= 1 + b + 4 + 2a - 1 - a$$= a + b + 4$.

Mà $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 13}$ nên $a + b = 9$.

Vì $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow 2 + a = 3 + b \Leftrightarrow a - b = 1$.

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 9\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.$.

Vậy $a + b - ab = 5 + 4 - 5.4 = - 11$.

Ta có $N\left( t \right) = \int {\frac{4}{{1 + 0{,}5t}}} dt = 8\ln \left( {1 + 0{,}5t} \right) + C$.

Mà $N\left( 0 \right) = 250 \Rightarrow C = 250$.

Do đó $N\left( t \right) = 8\ln \left( {1 + 0{,}5t} \right) + 250$.

Sau 10 ngày số lượng vi trùng là $N\left( {10} \right) = 8\ln \left( {1 + 0{,}5.10} \right) + 250 \approx 264$.

Dựa vào đồ thị ta có $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}1{,}25t\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 8\\10\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;8 < t \le 30\\ - t + 40\;\;{\rm{khi}}\;30 < t \le 40\end{array} \right.$.

Có $\int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^8 {1{,}25tdt} + \int\limits_8^{30} {10dt} + \int\limits_{30}^{40} {\left( { - t + 40} \right)dt}$$= 40 + 220 + 50 = 310$ (m).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1; - 1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$.

Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;1;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: $2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + z = 0$ hay $2x + y + z - 3 = 0$.

Suy ra $a = 2;b = 1;c = - 3$. Do đó $a + b + c = 0$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ.

Ta có $O\left( {0;0;0} \right)$, $A \in Oz,\;B \in Ox,\;C \in Oy$sao cho $AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4$

$\Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)$.

Khi đó: $G$ là trọng tâm tam giác$ABC$ nên $G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)$

$M$là trung điểm $OB$nên $M\left( {1;0;0} \right)$

$N$là trung điểm $OC$nên $N\left( {0;2;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1$ hay $10x + 5y + 2z - 10 = 0$

Vậy khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$là:

$d\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{20}}{3} + \frac{{20}}{3} + \frac{{10}}{3} - 10} \right|}}{{\sqrt {100 + 25 + 4} }} = \frac{{20}}{{3\sqrt {129} }} \approx 0{,}59$.