Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: D

Với số thực dương $a$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$, kí hiệu ${a^r}$, được xác định bởi ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên nếu ${\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$ thì $m < n$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$ nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a$.

Đáp án đúng là: D

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a$.

Đáp án đúng là: B

Vì ${\log _a}b = 4$ nên $a,\,b$ là các số thực dương và $a \ne 1$.

Khi đó, ta có ${\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)$$= {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)$

$= 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{ - 2}}$ không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \left( {x + 3} \right)\ln 2$ không phải là hàm số lôgarit.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $a > 1$.

+) Đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $0 < b < 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $0 < \frac{2}{e} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $\frac{\pi }{3} > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)$ có tập xác định $\mathbb{R}$ (do $4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$) và có cơ số $\pi > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ có tập xác định $\left( {0;\, + \infty } \right)$ và có cơ số $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\log _a}x = b\, \Leftrightarrow x = {a^b}\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: ${x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.$.

Ta có ${\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { - 3;3} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${4^x} - {2^x} - 3 = 0$$\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2^x} - 3 = 0$ (1)

Đặt ${2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)$, khi đó (1) $\Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.$.

Ta có ${2^x} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ trong không gian, kí hiệu $\left( {a,b} \right)$, là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a$ và $b$.

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'BC'D'$ là hình lập phương nên ta có:

+) $BC{\rm{//}}A'D'$ (do cùng song song với $B'C'$);

+) $AB{\rm{//}}DC$ (do $ABCD$ là hình vuông);

+) $AA'{\rm{//}}BB'$ (các cạnh bên);

+) $AB \bot AA'$ (cạnh đáy và cạnh bên).

Đáp án đúng là: D

Ta có $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên cạnh $A'A \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$ và $B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)$.

Nên $A'A \bot B'D'$ $\Rightarrow \left( {A'A,B'D'} \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của $SD$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AD$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$.

Đáp án đúng là: A

+) Đáp án A đúng theo định nghĩa.

+) Đáp án B sai vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.

+) Đáp án C sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng 0° hoặc 90° (góc vuông).

+) Vì B, C sai nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

Đáp án đúng là: A

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot AB$.

Lại có $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên $BC \bot AB$.

Vậy đường vuông góc chung của hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là $AB$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\AI \bot AA'\,\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = IA$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AK \bot SD\,\,\left( 1 \right)$

$\left. \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) $AK \bot \left( {SCD} \right)$. Hay $AK = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$.

Đáp án đúng là: A

w Trong $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$.

w Do $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $\left( {ABC} \right)$ nên góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và đường thẳng $AB$ hay là $\widehat {SBA}$.

wTrong $\Delta SAB$ vuông tại $A$ ta có: $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V = \frac{1}{3}Bh$.

Đáp án đúng là: D

Hình chóp cụt đều có các mặt bên là hình thang cân nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Thể tích của hình lập phương $ABCD.A'BC'D'$ là $V = {a^3}$.

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{6}$.

a) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \cdot {4^{2x}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 1}}} \right)^x} \ge 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{2x}} \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge {2^{1 + 4x}} \Leftrightarrow - x \ge 1 + 4x$ (do 2 > 1)

$\Leftrightarrow 5x \le - 1 \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{5}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - \frac{1}{5};\, + \infty } \right)$.

b) $\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

ĐK: $x > 0\,\,\left( * \right)$.

Đặt $t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)$.

$\left( 1 \right)$ thành ${t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64$

So với $\left( * \right)$: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]$.

a) Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $BC \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow BC \bot SA$.

Và $BC \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Mà $SA,AB \subset \left( {SAB} \right)$. Vậy $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $BD \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SA \bot BD$.

Và $BD \bot AC$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Mà $SA,AC \subset \left( {SAC} \right)$.

Suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Mặt khác ta có: $BD \subset \left( {SBD} \right)$.

Vậy $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$.

Theo giả thiết suy ra $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = a\sqrt 3 \end{array} \right.$$

Vì $DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)$

Nên $d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$ (vì $MB = \frac{1}{2}AB$).

Kẻ $AH \bot SC$.

Ta lại có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$$\Rightarrow AH \bot BC$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có

$A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {{\left( {3a} \right)}^2}}}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{4}$$\Rightarrow AH = \frac{3}{2}a$.

Vậy $d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a}}{4}$.