Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Ta có ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ với $a \ne 0$ nên A đúng, B sai.

Với $a \ne 0$ ta có ${a^0} = 1$, do đó C và D sai.

Đáp án đúng là: A

Biểu thức $M = {2^0}$ và $Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}$ có nghĩa.

Đáp án đúng là: A

Ta có $- 4\sqrt 2 = - {2^2} \cdot {2^{\frac{1}{2}}} = - {2^{2 + \frac{1}{2}}} = - {2^{\frac{5}{2}}}$.

Do đó, $\sqrt[5]{{ - 4\sqrt 2 }} = \sqrt[5]{{ - {2^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( { - {2^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a = {a^{\frac{3}{4}}}:{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{4}}}$.

Đáp án đúng là: A

Với $a > 0,\,a \ne 1$, ta có ${\log _a}a = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)$.

Do đó, $x = {a^5}{b^4}$.

Đáp án đúng là: B

Vì $a$, $b$ là các số thực lớn hơn $1$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}x = 2\\{\log _b}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2}\\x = {b^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^3} \Leftrightarrow a = \sqrt {{b^3}} \Leftrightarrow a = {b^{\frac{3}{2}}}$.

Ta có $P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x = {\log _{\frac{{{b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^2}}}}}x = {\log _{{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}x = - 2{\log _b}x = - 6$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {7^x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện để hàm số có nghĩa là $x > 0$. Vậy tập xác định là $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập xác định là $D = \left( {0; + \infty } \right)$ nên ta loại ngay đáp án A và đáp án B.

Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên hàm số này đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$, vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${2^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó, phương trình ${2^x} = a$ có nghiệm khi $a > 0$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x > 0$.

Ta có ${\log _2}x = 5 \Leftrightarrow x = {2^5} \Leftrightarrow x = 32$ (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > 1$.

Ta có ${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4$$\Leftrightarrow x - 1 > {2^4}$ (do 2 > 1)

$\Leftrightarrow x > 17$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4$ là $S = \left( {17; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Nếu hàm số $T = f\left( t \right)$ biểu thị nhiệt độ $T$ theo thời gian $t$ thì $f'\left( {{t_0}} \right)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm ${t_0}$.

Đáp án đúng là: C

Ta tìm được $f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3$ nên $f'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 6$.

Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm $M\left( { - 1;\, - 4} \right)$ có phương trình là

$y + 4 = 6\left( {x + 1} \right)$ hay $y = 6x + 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\left( {\tan \,x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Cho hai hàm số $u\left( x \right)$ và $v\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc tập xác định. Ta có các quy tắc tính đạo hàm:

+ Đạo hàm của tổng: ${\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'$;

+ Đạo hàm của hiệu: ${\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'$;

+ Đạo hàm của tích: ${\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'$;

+ Đạo hàm của thương: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\,\,\,\,\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left( {{x^5}} \right)^\prime } = 5{x^4}$. Khi đó $y'\left( 3 \right) = 5 \cdot {3^4} = 405$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $y' = {\left( {{{\log }_4}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 4}}\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng $a$ và $b$ vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ có số đo từ 0° đến 90°, do đó đáp án A và D sai.

Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 0° nên đáp án C sai.

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng 0° khi đường thẳng $a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$ là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

+) A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$).

+) C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

+) D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c$, $b$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng 90°, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng 0°.

Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC = CD = DA = a$ nên nó là hình thoi.

Suy ra $CD{\rm{//}}AB$. Do đó $\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right)$.

Tam giác $SAB$ có $SA = AB = SB = a$ nên $SAB$ là tam giác đều, do đó $\widehat {SBA} = 60^\circ$.

Vậy $\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và $b$ là đường thẳng không nằm trong $\left( P \right)$ và không vuông góc với $\left( P \right)$. Gọi $b'$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên $\left( P \right)$. Khi đó, $a$ vuông góc với $b$ khi và chỉ khi $a$ ***vuông góc với* **$b'$.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa: Trong không gian, cho đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$, đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Tam giác $SAC$ có $SA = SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, lại có $SO$ là trung tuyến, do đó $SO \bot AC$. (1)

Tam giác $SBD$ có $SB = SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, lại có $SO$ là trung tuyến, do đó $SO \bot BD$. (2)

Ta có $AC,\,\,BD \subset \left( {ABCD} \right)$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, vậy hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $O$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ suy ra $SA \bot BD$ (đáp án A đúng), $SA \bot AD$ .

Và nếu $AD \bot SC$ thì $AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC$ vô lí vì $AC \bot BD$ (đáp án B sai).

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC,BD \bot SO$ (đáp án C, D đúng).

a) $P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.$

b) $Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}$

$= \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3 \cdot \left( { - 2} \right){\log _b}b$ $= \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1.$

a) $y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

b) $y = x \cdot \sqrt {{x^2} - 2x} \Rightarrow y' = \sqrt {{x^2} - 2x} + x \cdot \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$

Ta có $S{A^2} = SH \cdot SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).$

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A,$ đường cao $AK.$

Ta có $S{A^2} = SK \cdot SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\AB = AD\end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$suy ra $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK{\rm{//}}BD.$

Lại có $BD \bot AC$ (tính chất hình thoi).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.$

Suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right)$ mà $HK{\rm{//}}BD$ nên $HK \bot \left( {SAC} \right).$

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$.

Ta có $\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \log 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$

$$\Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - m > 0\\16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\4 \le {\left( {5 - m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}5 - m \le - 2\\5 - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3$.

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được $2 < m \le 3$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 3$.