Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Với số thực dương $a$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$, kí hiệu ${a^r}$, được xác định bởi ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên nếu ${\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$ thì $m < n$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $A = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0{,}1} \right)}^0}}}$$= \frac{{{2^{3 - 1}} + {5^{ - 3 + 4}}}}{{{{10}^{ - 3 - \left( { - 2} \right)}} - 1}} = \frac{{{2^2} + {5^1}}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}} = \frac{{4 + 5}}{{\frac{1}{{10}} - 1}} = \frac{9}{{ - \frac{9}{{10}}}} = - 10$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$ nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a$.

Đáp án đúng là: D

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a$.

Đáp án đúng là: B

Vì ${\log _a}b = 4$ nên $a,\,b$ là các số thực dương và $a \ne 1$.

Khi đó, ta có ${\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)$$= {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)$

$= 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _9}10 = {\log _{{3^2}}}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}{\log _3}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5} \right)$.

Áp dụng công thức đổi cơ số ta có ${\log _2}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}2}} = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}$, suy ra ${\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}$.

Tương tự ${\log _2}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2}} \Rightarrow {\log _3}5 = {\log _2}5 \cdot {\log _3}2 = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$.

Do đó, ${\log _9}10 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{b}{a}} \right) = \frac{{1 + b}}{{2a}}$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{ - 2}}$ không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \left( {x + 3} \right)\ln 2$ không phải là hàm số lôgarit.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $a > 1$.

+) Đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $0 < b < 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện để hàm số có nghĩa là $2x - 5 > 0$, tức là $x > \frac{5}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $0 < \frac{2}{e} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $\frac{\pi }{3} > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)$ có tập xác định $\mathbb{R}$ (do $4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$) và có cơ số $\pi > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ có tập xác định $\left( {0;\, + \infty } \right)$ và có cơ số $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\log _a}x = b\, \Leftrightarrow x = {a^b}\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: ${x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.$.

Ta có ${\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { - 3;3} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${4^{x - 1}} > 16 \Leftrightarrow {4^{x - 1}} > {4^2} \Leftrightarrow x - 1 > 2$ (do 4 > 1)

$\Leftrightarrow x > 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${4^{x - 1}} > 16$ là $\left( {3; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${4^x} - {2^x} - 3 = 0$$\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2^x} - 3 = 0$ (1)

Đặt ${2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)$, khi đó (1) $\Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.$.

Ta có ${2^x} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ trong không gian, kí hiệu $\left( {a,b} \right)$, là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a$ và $b$.

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'BC'D'$ là hình lập phương nên ta có:

+) $BC{\rm{//}}A'D'$ (do cùng song song với $B'C'$);

+) $AB{\rm{//}}DC$ (do $ABCD$ là hình vuông);

+) $AA'{\rm{//}}BB'$ (các cạnh bên);

+) $AB \bot AA'$ (cạnh đáy và cạnh bên).

Đáp án đúng là: B

+) A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$).

+) C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

+) D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c$, $b$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng 90°, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng 0°.

Do đó B đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên cạnh $A'A \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$ và $B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)$.

Nên $A'A \bot B'D'$ $\Rightarrow \left( {A'A,B'D'} \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right).$

Đáp án đúng là: A

Hình chóp hình chóp $S.ABCD$ có mặt đáy là $\left( {ABCD} \right)$. Do đó $SA \bot \left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của $SD$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AD$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$.

Đáp án đúng là: A

+) Đáp án A đúng theo định nghĩa.

+) Đáp án B sai vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.

+) Đáp án C sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng 0° hoặc 90° (góc vuông).

+) Vì B, C sai nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Hình chóp cụt đều có các mặt bên là hình thang cân nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$.

Từ đó suy ra $\left( {A'AC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $\left( {A'B'BA} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {A'B'BA} \right)$ bằng $90^\circ$.

a) Ta có $A = {2^{1 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{\frac{1}{2}}} = {2^{1 - \sqrt 2 + 3 + \sqrt 2 }} \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}$

$= {2^4} \cdot {2^{2 \cdot \frac{1}{2}}} = {2^4} \cdot {2^1} = {2^{4 + 1}} = {2^5} = 32.$

b) $\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

ĐK: $x > 0\,\,\left( * \right)$.

Đặt $t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)$.

$\left( 1 \right)$ thành ${t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64$

So với $\left( * \right)$: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]$.

a) Ta có tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tứ giác $IBCJ$ là hình chữ nhật nên $IJ = BC = a$.

Tam giác $SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S$ nên $SJ = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2}$.

Do đó, $S{J^2} + S{I^2} = I{J^2}\,\,\left( { = {a^2}} \right)$, suy ra tam giác $SIJ$ vuông tại $S$.

Vậy $SI \bot SJ$.

b) Vì tam giác $SCD$ là tam giác cân đỉnh $S$ nên $SJ \bot CD$.

Do $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $SJ \bot AB$ mà $SI \bot SJ$ nên $SJ \bot \left( {SAB} \right)$.

Chứng minh tương tự ta có $SI \bot \left( {SCD} \right)$.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $SC \bot BD$ (vì $BD \bot AC,BD \bot SA$)

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, kẻ $OI \bot SC$ thì ta có $SC \bot \left( {BID} \right)$.

Khi đó $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {BID}$.

Trong tam giác $SAC$, kẻ đường cao $AH$ thì $AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$.

Mà $O$ là trung điểm $AC$ và $OI\,{\rm{//}}\,AH$ nên $OI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$.

Tam giác $IOD$ vuông tại $O$ có $tan\widehat {OID} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {OID} = 60^\circ$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $60^\circ$.