Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Ta có ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ với $a \ne 0$ nên A sai, B đúng.

Với $a \ne 0$ ta có ${a^0} = 1$, do đó C và D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( {{e^x}} \right)^y} = {e^{xy}} \Rightarrow$ đáp án A đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\, = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}} \cdot {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 2}}{3}}}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 2}}{3}}}} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{ - 2}}{{15}}}}$.

Vậy $m = \frac{{ - 2}}{{15}}$.

Đáp án đúng là: D

$f\left( a \right) = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{{{a^{ - 2}}}} - \sqrt[3]{a}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} - \sqrt[8]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ - 2}}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {{a^{\frac{3}{8}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{8}}}} \right)}} = \frac{{{a^0} - {a^1}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} - {a^0}}}$

$= \frac{{1 - a}}{{\sqrt a - 1}} = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 1}} = - \left( {\sqrt a + 1} \right).$

Thay $a = {2019^{2018}}$ vào ta được $M = f\left( {{{2019}^{2018}}} \right) = - \left( {\sqrt {{{2019}^{2018}}} + 1} \right) = - {2019^{1009}} - 1.$

Đáp án đúng là: A

Với $a > 0,\,a \ne 1$, ta có ${\log _a}a = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _4}25 + {\log _2}1{,}6 = {\log _2}5 + {\log _2}1{,}6 = {\log _2}\left( {5 \cdot 1{,}6} \right) = {\log _2}8 = 3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\log \sqrt[4]{{\frac{{32}}{5}}} = \frac{1}{4}\log \frac{{32}}{5} = \frac{1}{4}\log \frac{{64}}{{10}} = \frac{1}{4}\left( {\log {2^6} - \log 10} \right) = \frac{1}{4}\left( {6\log 2 - 1} \right) = \frac{1}{4}\left( {6a - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số không phải hàm số mũ là $y = {x^{ - 2024}}$.

Đáp án đúng là: D

Đây là dạng của đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$.

Vì đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến, do đó đường cong đã cho là đồ thị của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$.

Đáp án đúng là: D

ĐKXĐ: $- {x^2} + 3x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3$.

TXĐ: $D = \left( {0;3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Loại đáp án A và C vì TXĐ của các hàm số này là: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Đáp án B: $y = {9^x}$ có $a = 9 > 1 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án D: $y = 0,{9^x}$ có $a = 0{,}9 < 1 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${2^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó, phương trình ${2^x} = a$ có nghiệm khi $a > 0$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x > 0$.

Ta có ${\log _2}x = 5 \Leftrightarrow x = {2^5} \Leftrightarrow x = 32$ (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > 1$.

Ta có ${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4$$\Leftrightarrow x - 1 > {2^4}$ (do 2 > 1)

$\Leftrightarrow x > 17$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 4$ là $S = \left( {17; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)$ bằng $f'\left( 2 \right) = 6$.

Đáp án đúng là: B

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 1$ là $f'\left( 1 \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = {x^3} \Rightarrow y' = 3{x^2}$

Đồ thị hàm số đi qua điểm có hoành độ là 0 $\Rightarrow$ đồ thị hàm số đi qua $O\left( {0;0} \right)$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3}$ tại $O\left( {0;0} \right)$ là

$y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 0 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left( {{{11}^x}} \right)^\prime } = {11^x}\ln 11$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $y = \log x \Rightarrow y' = {\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln 10}} = \frac{1}{{x.\frac{{\log 10}}{{\log e}}}} = \frac{{\log e}}{x}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $y = \sqrt[8]{{{x^{15}}}} = {x^{\frac{{15}}{8}}}$

$\Rightarrow y' = {\left( {{x^{\frac{{15}}{8}}}} \right)^\prime } = \frac{{15}}{8}{x^{\frac{{15}}{8} - 1}} = \frac{{15}}{8}{x^{\frac{7}{8}}} = \frac{{15}}{8}\sqrt[8]{{{x^7}}}$.

Đáp án đúng là: B

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ có số đo từ 0° đến 90°, do đó đáp án A và D sai.

Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 0° nên đáp án C sai.

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng 0° khi đường thẳng $a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$ là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

Qua một điểm $O$ cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước nên đáp án B sai.

Hình minh họa:

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác $ABCD$ có $AB = BC = CD = DA = a$ nên nó là hình thoi.

Suy ra $CD{\rm{//}}AB$. Do đó $\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right)$.

Tam giác $SAB$ có $SA = AB = SB = a$ nên $SAB$ là tam giác đều, do đó $\widehat {SBA} = 60^\circ$.

Vậy $\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA$ vuông góc với $AC,\,AB$.

Suy ra $\Delta SAC$ và $\Delta SAB$ vuông tại $A$.

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Suy ra $\Delta SBC$ vuông tại $B$.

Theo giả thiết $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại $B$.

Vậy hình chóp $S.ABC$ có 4 mặt là tam giác vuông.

Đáp án đúng là: D

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng đã cho.

Đáp án đúng là: A

Vì $AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$ nên hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$là $A'$.

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$ (1).

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AB \bot \left( {SAD} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Tam giác $SAC$ có $SA = SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, lại có $SO$ là trung tuyến, do đó $SO \bot AC$. (1)

Tam giác $SBD$ có $SB = SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, lại có $SO$ là trung tuyến, do đó $SO \bot BD$. (2)

Ta có $AC,\,\,BD \subset \left( {ABCD} \right)$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, vậy hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $O$.

Sử dụng công thức ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$

Ta có $P = 3{\log _{ab}}x + {\log _{\frac{a}{b}}}x = \frac{3}{{{{\log }_x}ab}} + \frac{1}{{{{\log }_x}\frac{a}{b}}} = \frac{3}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b}} + \frac{1}{{{{\log }_x}a - {{\log }_x}b}}$

$= \frac{3}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} - \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} = \frac{3}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}} + \frac{1}{{\frac{1}{4} - \frac{1}{5}}} = \frac{{80}}{3}$.

a) Ta có

$$y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {x\sqrt x } \right)^\prime } - 5'$$

$$= 2x + x' \cdot \sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } \cdot x$$

$$= 2x + \sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot x$$

$= 2x + \frac{{3\sqrt x }}{2}$.

b) Ta có $y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } \cdot \cos 4x + \sin x \cdot {\left( {\cos 4x} \right)^\prime }$

$= \cos x \cdot \cos 4x - 4\sin x \cdot \sin 4x$.

Ta có $CD \bot AD,CD \bot SA$.

Suy ra $CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK.$

Mà $AK \bot SD$ nên $AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC.$

Mặt khác $AH \bot SC$ nên $SC \bot \left( {AHK} \right).$

Theo bài ra ta có

$500{\left( {1 + 0{,}01} \right)^n} = \frac{{10}}{{0{,}01}}\left[ {{{\left( {1 + 0{,}01} \right)}^n} - 1} \right]$

$\Leftrightarrow 500{\left( {1 + 0{,}01} \right)^n} = 1000{\left( {1 + 0{,}01} \right)^n} - 1000$

$\Leftrightarrow 500{\left( {1 + 0{,}01} \right)^n} = 1000$

$\Leftrightarrow 1,{01^n} = 2 \Leftrightarrow n \approx {\log _{1{,}01}}2 \approx 69{,}99$

Số tiền phải trả trong tháng cuối là

$500{\left( {1 + 0{,}01} \right)^{69}} - \frac{{10}}{{0{,}01}}\left[ {{{\left( {1 + 0{,}01} \right)}^{69}} - 1} \right] \approx 6{,}553$ (triệu đồng).