Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: D

Độ dài của nhóm $\left[ {200;\,235} \right)$ là 235 – 200 = 35.

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu $n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50$.

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{50}}$ là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$. Do ${x_{25}},\,{x_{26}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {2;3} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: C

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

$\overline x = \frac{{18{,}5 \cdot 4 + 23{,}5 \cdot 6 + 28{,}5 \cdot 8 + 33{,}5 \cdot 18 + 38{,}5 \cdot 4}}{{4 + 6 + 8 + 18 + 4}} = \frac{{1200}}{{40}} = 30$.

Đáp án đúng là: C

Số học sinh khối 10 được đo chiều cao là $5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 = 100$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{100}}$ là chiều cao của 100 học sinh lớp 10 xếp theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1};...;{x_5} \in \left[ {150;152} \right)$ ; ${x_6};...;{x_{23}} \in \left[ {152;154} \right)$ ; ${x_{24}};...;{x_{63}} \in \left[ {154;156} \right)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)$ mà ${x_{25}};{x_{26}} \in \left[ {154;156} \right)$.

Khi đó $n = 100;{u_m} = 154;C = 23;{n_m} = 40;{u_{m + 1}} = 156$.

Do đó ${Q_1} = 154 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 23}}{{40}}\left( {156 - 154} \right) = 154{,}1$.

Đáp án đúng là: B

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $\overline A$ và $\overline B$ là hai biến cố độc lập.

Đáp án đúng là: A

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố $A$: “Học sinh được chọn giỏi Toán”.

Biến cố $B$: “Học sinh được chọn giỏi Văn”.

Khi đó, biến cố $AB$: “Học sinh được chọn giỏi cả Văn và Toán”.

Biến cố $A \cup B$: “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}$.

Khi đó $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$$= \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}} = 0{,}6$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{11}^6 = 462$.

Gọi biến cố $A$: “Tổng số ghi trên $6$ tấm thẻ ấy là một số lẻ”.

Từ $1$ đến $11$ có $6$ số lẻ và $5$ số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có $3$ trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được $1$ thẻ mang số lẻ và $5$ thẻ mang số chẵn có: $6 \cdot C_5^5 = 6$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được $3$ thẻ mang số lẻ và $3$ thẻ mang số chẵn có: $C_6^3 \cdot C_5^3 = 200$ cách.

Trường hợp 3: Chọn được $5$ thẻ mang số lẻ và $1$ thẻ mang số chẵn có: $C_6^5 \cdot 5 = 30$ cách.

Do đó $n\left( A \right) = 6 + 200 + 30 = 236$. Vậy $P\left( A \right) = \frac{{236}}{{462}} = \frac{{118}}{{231}}$.

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt[8]{{{a^3}}} = {a^{\frac{3}{8}}}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ nên nếu ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}$ thì $a > 1$.

Vì $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ nên nếu ${b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}$ thì $0 < b < 1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}\sqrt a }}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^{\frac{5}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{6}}}}}{{{a^3}}} = {a^{\frac{5}{6} - 3}} = {a^{\frac{{ - 13}}{6}}}$. Do đó $\alpha = \frac{{ - 13}}{6}$.

Vì $- 3 < \frac{{ - 13}}{6} < - 2$ nên chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}a = 1$ nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\log _{{a^5}}}b = \frac{1}{5}{\log _a}b$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 + {\log _a}2 = 2 \cdot \frac{1}{2}{\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2$

$= {\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = {\log _a}\frac{3}{5} + {\log _a}2 = {\log _a}\left( {\frac{3}{5} \cdot 2} \right) = {\log _a}\frac{6}{5}$.

Vậy $x = \frac{6}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S = 2\ln a - \ln b - \ln c = \ln {a^2} - \left( {\ln b + \ln c} \right) = \ln \left( {bc} \right) - \ln \left( {bc} \right) = 0$ (do ${a^2} = bc$).

Đáp án đúng là: A

Trong các hàm số đã cho, hàm số $y = {2^x}$ là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của hàm số $y = {\log _3}x$ là $\left( {0\,;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng $d:\,\,y = 1$.

Hoành độ giao điểm của $d$ với các đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$, $y = {\log _b}x$, $y = {\log _c}x$ lần lượt là $a,\,\,b,\,\,c$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $a > c > b$.

Đáp án đúng là: A

Vì $2 > 1$ nên hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {2^3} = 8;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}$.

Suy ra $M = 8,\,m = \frac{1}{4} \Rightarrow M \cdot m = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$.

Đáp án đúng là: B

Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên mỗi mặt của hình hộp là một hình thoi.

Xét từng đáp án, ta thấy:

+ Đáp án A đúng vì $\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'D'\\B'D'\,{\rm{//}}\,BD\end{array} \right. \Leftrightarrow A'C' \bot BD$.

+ Đáp án B sai vì $BB'\,{\rm{//}}\,DD'$.

+ Đáp án C đúng vì $\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\AB'{\rm{//}}DC'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot DC'$.

+ Đáp án D đúng vì $\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot B'C\\B'C\,{\rm{//}}\,A'D\end{array} \right. \Rightarrow BC'\,{\rm{//}}\,A'D$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên

+ $ABCD$ là hình vuông, suy ra $AC \bot BD$;

+ $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra $BB' \bot AC$.

Lại có $BB',\,BD \subset \left( {BB'D'D} \right)$.

Từ đó suy ra $AC \bot \left( {BB'D'D} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đáp án A sai vì $b$ có thể vuông góc với $\left( P \right)$.

Đáp án B đúng bởi $a{\rm{//}}\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)$ sao cho $a{\rm{//}}a'$, mà $b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'$. Khi đó $a \bot b$.

Đáp án C sai vì $b$ có thể nằm trong $\left( P \right)$.

Đáp án D sai vì $b$ có thể nằm trong $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $BC \bot AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$).

Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$, suy ra $BC \bot AE$. Mà $AE \bot SB$ (gt).

Từ đó suy ra $AE \bot \left( {SBC} \right)$, suy ra $AE \bot SC$ (1).

Tương tự, ta chứng minh được $CD \bot \left( {SAD} \right)$, suy ra $CD \bot AF$. Mà $AF \bot SD$ (gt).

Từ đó suy ra $AF \bot \left( {SCD} \right)$, suy ra $AF \bot SC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $SC \bot \left( {AEF} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Vì $C \in \left( {ABC} \right)$ nên $C$ là hình chiếu của $C$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Vậy hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $AC$.

Đáp án đúng là: C

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \bot AB$.

Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$. Do đó $B$ là hình chiếu của $C$ lên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Khi đó giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là $\widehat {BSC}$.

Đáp án đúng là: B

Góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có chung bờ là đường thẳng $d$, được kí hiệu là $\left[ {P,\,d,\,Q} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $\left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}$.

Tam giác $SBA$ vuông tại $A$ (do $SA \bot AB$) có $SA = AB = a$ nên tam giác $SBA$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat {SBA} = 45^\circ$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.$.

Do đó $\widehat {BAC}$ là một góc phẳng của góc góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$.

Ta có $\Delta ABC$ có $AB = BC = AC = a$ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều, suy ra $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Vậy số đo góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$ bằng $60^\circ$.

1. Với $b > 1 > a > 0$ ta có:

$$\log _a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {\log _a}b = 2\\1 + {\log _a}b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _a}b = - 3\end{array} \right.$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.$nên ${\log _a}b = - 3$.

Khi đó, $\log _a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b} \right)^3} = {\left( {1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right)} \right)^3} = - 125$.

2. Hàm số $y = {\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)^{\sqrt 7 }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m < {\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m < 0$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;2024} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;0} \right)\end{array} \right.$ nên có 2023 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu.

a) Ta có tam giác $ABC$ là tam giác đều và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM \bot BC$.

Mà $SA \bot BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)$, do đó $BC \bot \left( {SAM} \right)$. Suy ra $BC \bot AH$.

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$ nên $AH \bot SM$.

Ta suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

b) Vì $AH \bot \left( {SBC} \right)$ nên $SH$ là hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

c) Từ b) ta suy ra góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là góc $\alpha = \widehat {ASH}$.

Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$ ta có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$$\Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.

Xét tam giác $SAH$ vuông tại $H$ ta có: $\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}$.

Do đó, $\cos \widehat {ASH} = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}$.

Nhận xét: Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên nó chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường. Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.

⦁ Gọi $A$ là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng” thì $\overline A$ là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.

Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:

$P\left( {\overline A } \right) = 0{,}85 \cdot 0{,}85 = 0{,}7225$.

Suy ra $P\left( A \right) = 1 - 0{,}7225 = 0{,}2775$.

⦁ Gọi $B$ là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.

Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là $P\left( B \right) = 0{,}15 \cdot 0{,}15 = 0{,}0225$.

Vậy xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:

$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0{,}2775 \cdot 0{,}0225 = \frac{{999}}{{160\,\,000}} \approx 0{,}00624.$