Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: D

Số $50$ không nằm trong lớp $\left[ {54;{\rm{ }}56} \right)$ là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Tần số lớn nhất là $45$ nên nhóm chứa mốt là $\left[ {54;56} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${x_1} = \frac{{40{,}5 + 45{,}5}}{2} = 43$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {40{,}5;45{,}5} \right)$.

${x_2} = \frac{{45{,}5 + 50{,}5}}{2} = 48$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {45{,}5;50{,}5} \right)$.

${x_3} = \frac{{50{,}5 + 55{,}5}}{2} = 53$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {50{,}5;55{,}5} \right)$.

${x_4} = \frac{{55{,}5 + 60{,}5}}{2} = 58$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {55{,}5;60{,}5} \right)$.

${x_5} = \frac{{60{,}5 + 65{,}5}}{2} = 63$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {60{,}5;65{,}5} \right)$.

${x_6} = \frac{{65{,}5 + 70{,}5}}{2} = 68$ là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {65{,}5;70{,}5} \right)$.

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là

$\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51{,}81$.

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là $n = 50.$

Gọi ${x_1},...,{x_{50}}$ là tuổi thọ (năm) của $50$ bình ắc quy và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó: ${x_1},...,{x_4}$ thuộc nhóm $\left[ {2;2{,}5} \right);$

${x_5},...,{x_{13}}$ thuộc nhóm $\left[ {2{,}5;3} \right);$

${x_{14}},...,{x_{27}}$ thuộc nhóm $\left[ {3;3{,}5} \right);$

${x_{28}},...,{x_{38}}$ thuộc nhóm $\left[ {3{,}5;4} \right);$

${x_{39}},...,{x_{45}}$ thuộc nhóm $\left[ {4;4{,}5} \right);$

${x_{46}},...,{x_{50}}$ thuộc nhóm $\left[ {4{,}5;5} \right).$

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là ${x_{13}}.$ Do ${x_{13}}$ thuộc nhóm $\left[ {2{,}5;3} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}.$

Do đó, ${a_2} = 2{,}5;$ ${m_2} = 9;$ ${m_1} = 4;$ ${a_3} - {a_2} = 3 - 2{,}5 = 0{,}5$ và ta có:

${Q_1} = 2{,}5 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{9} \cdot 0{,}5 = \frac{{107}}{{36}} \approx 2{,}97.$

Đáp án đúng là: A

$A \cup B$: “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.

Đáp án đúng là: A

Ta có $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Đáp án đúng là: D

$A$ là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”.

Gọi $X$ là biến cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ”, ta có $P\left( X \right) = \frac{1}{5}$.

Gọi $Y$ là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ”, ta có $P\left( Y \right) = \frac{2}{7}$.

Khi đó $A = X \cap Y = XY$.

Ta thấy biến cố $X,Y$ là $2$ biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210$.

Biến cố $A$: “Chọn được hai quả xanh, hai quả trắng”.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_4^2 \cdot C_6^2 = 90$.

$\Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{7}$.

Đáp án đúng là: D

Với số thực dương $a$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$, kí hiệu ${a^r}$, được xác định bởi ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên nếu ${\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}$ thì $m < n$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$ nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a$.

Đáp án đúng là: D

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có ${\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a$.

Đáp án đúng là: B

Vì ${\log _a}b = 4$ nên $a,\,b$ là các số thực dương và $a \ne 1$.

Khi đó, ta có ${\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)$$= {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)$

$= 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{ - 2}}$ không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \left( {x + 3} \right)\ln 2$ không phải là hàm số lôgarit.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $a > 1$.

+) Đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$, do đó $0 < b < 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $0 < \frac{2}{e} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có cơ số $\frac{\pi }{3} > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)$ có tập xác định $\mathbb{R}$ (do $4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$) và có cơ số $\pi > 1$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ có tập xác định $\left( {0;\, + \infty } \right)$ và có cơ số $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ trong không gian, kí hiệu $\left( {a,b} \right)$, là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a$ và $b$.

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'BC'D'$ là hình lập phương nên ta có:

+) $BC{\rm{//}}A'D'$ (do cùng song song với $B'C'$);

+) $AB{\rm{//}}DC$ (do $ABCD$ là hình vuông);

+) $AA'{\rm{//}}BB'$ (các cạnh bên);

+) $AB \bot AA'$ (cạnh đáy và cạnh bên).

Đáp án đúng là: A

Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của $SD$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AD$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Trong $\Delta ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$.

Do $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $\left( {ABC} \right)$ nên góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và đường thẳng $AB$ hay là $\widehat {SBA}$.

Trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$ ta có: $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC$.

Và $\left. \begin{array}{l}AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {SBA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$.

Lại có $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$ bằng $60^\circ$.

Ta có $\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = {5^2} - {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 25 - 24 = 1$.

Do đó:

$P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}} = {\left[ {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}} \cdot \left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = 5 - 2\sqrt 6$.

Hàm số đã cho xác định khi ${x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Áp dụng công thức: ${X_{2030}} = {X_{2014}}{\left( {1 + r} \right)^n}$.

Trong đó ${X_{2014}} = 90\,\,728\,\,900;{\rm{ }}r = 1{,}05\% ;{\rm{ }}n = 16$.

Ta được dân số đến hết năm 2030 là: ${X_{2030}} \approx 107\,\,232\,\,574.$

1) (0,75 điểm)

Ta có $\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$.

$\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB$.

2) (0,75 điểm)

Do $SC \cap \left( {ABCD} \right) = C$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SCA}$.

Ta có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a$, $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ$.

Vậy góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ$.

Gọi ${A_i}$ là biến cố “Người thứ i bắn trúng” với $i = 1{,}2{,}3$.

Ta có các ${A_i}$ độc lập với nhau và $P\left( {{A_1}} \right) = x;P\left( {{A_2}} \right) = y;P\left( {{A_3}} \right) = 0{,}6$.

Gọi $A$ là biến cố “Ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”, $B$ là biến cố “Ba xạ thủ đều bắn trúng”, $C$ là biến cố “Có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng”.

Theo đề bài, ta có $P\left( A \right) = 0{,}976;\,\,P\left( B \right) = 0{,}336$.

Ta có $\overline A$ là biến cố “Không có xạ thủ bắn trúng”.

Suy ra $\overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \left( {1 - x} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) \cdot 0{,}4$.

Lại có $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}$ (1)

Tương tự ta có $B = {A_1}{A_2}{A_3}$

$\Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = x \cdot y \cdot 0{,}6 = 0{,}336 \Rightarrow xy = \frac{{14}}{{25}}$ (2)

Từ (1), (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{3}{2}\\xy = \frac{{14}}{{25}}\end{array} \right.$.

Ta có $C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}}$

$\Rightarrow P\left( C \right) = \left( {1 - x} \right)y \cdot 0{,}6 + x\left( {1 - y} \right) \cdot 0{,}6 + xy \cdot 0{,}4 = 0{,}6\left( {x + y} \right) - 0{,}8xy = 0{,}452.$