Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu: $n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}$. Do ${x_6},\,\,{x_7}$ đều thuộc nhóm $\left[ {10;20} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó, $p = 2$, ${a_2} = 10$, ${m_2} = 6$, ${m_1} = 4$, ${a_3} - {a_2} = 10$.

Vậy ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6} \cdot 10 = 13{,}75$.

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu $n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100$.

Ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là

$\overline x = \frac{{5 \cdot 41 + 12 \cdot 43 + 23 \cdot 45 + 31 \cdot 47 + 29 \cdot 49}}{{100}} = 46{,}34$.

Đáp án đúng là: B

Cho hai biến cố $A$ và $B$. Khi đó, biến cố giao $D = A \cap B$ được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra”.

Đáp án đúng là: A

Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $A$ và $B$ gọi là hai biến cố xung khắc nên đáp án A đúng.

Vì $A \cap B = \emptyset$ nên $P\left( {A \cap B} \right) = 0$ nên các đáp án B, C, D sai.

Đáp án đúng là: A

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}$, $B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}$.

Suy ra $A \cap B = \left\{ {2;\,\,6} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu từ $15$ quả cầu đã cho có $C_{15}^3 = 455$ cách.

Lấy được $3$ quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có $C_9^3 + C_6^3 = 104$ cách.

Vậy xác suất để lấy được $3$ quả cầu cùng màu là $P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố $A$: “Học sinh A thi đỗ”.

Biến cố $B$: “Học sinh B thi đỗ”.

Biến cố $C$: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.

Theo đề, ta có: $P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0{,}6$$\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0{,}4$.

Khi đó ta có $C = A\overline B \cup \overline A B$.

Do đó $P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)$$= P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right)$

$= 0{,}6 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}48$.

Đáp án đúng là: B

Với hai số thực dương $x,\,\,y$ và hai số thực $\alpha ,\,\,\beta$ tùy ý, ta có:

+) ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$ (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);

+) ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}$ (lũy thừa của lũy thừa);

+) ${\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }$ (lũy thừa của một tích).

Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có

${\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }$ (dấu bằng chỉ xảy ra khi $\alpha = \beta = 0$).

Từ đó suy ra đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có $K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0{,}75}} - {25^{0{,}5}} = \frac{{109}}{{27}}$.

Đáp án đúng là: A

Với $a$ là số thực khác 0 thì ${a^0} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) ${\log _a}x$ có nghĩa khi và chỉ khi $x > 0$, do đó đáp án A sai.

+) ${\log _a}1 = 0$, do đó đáp án B sai.

+) ${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y$, do đó đáp án C sai.

+) ${\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)$, do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4$.

Đáp án đúng là: B

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương $a$ kí hiệu là $\log a$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}$.

Vậy $x = \frac{3}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$$= \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}$

$= \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{2023}}$ không phải hàm số mũ.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {\log _3}x$ là hàm số lôgarit cơ số 3.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {\log _{\frac{e}{3}}}x$ có cơ số là $\frac{e}{3}$ và $0 < \frac{e}{3} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó $a > 1$.

Đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó $0 < b < 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Đáp án đúng là: A

ĐKXĐ: $- {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$.

Vậy hàm số $y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)$ có tập xác định là $\left( {2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)$.

Suy ra $ABC'D'$ là hình bình hành, do đó $AD'{\rm{//}}BC'$.

Lại có $AD' \bot A'D$ (do $ADD'A'$ là hình vuông).

Từ đó suy ra $BC' \bot A'D$.

Đáp án đúng là: B

Vì $MN{\rm{//}}M'N'$ nên $\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.

Khi đó ta có $ME,\,\,NE$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $BCD,\,\,ABD$.

Suy ra $ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB$. Do đó, $\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)$.

Ta có $ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $MNE$ ta có

$\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra $\widehat {MEN} = 120^\circ$.

Khi đó, $\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Vậy $\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Nếu $b\; \bot a$ thì có thể xảy ra trường hợp $b\; \subset \;\left( P \right)$, nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là điểm $A$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra $SA \bot BC$.

Lại có $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot BC$.

Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$, do đó $BC \bot AM$.

Mà $AM \bot SB$ (do $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$).

Như vậy, $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $SA = SC \Rightarrow \Delta SAC$ là tam giác cân tại $S$.

Mặt khác $O$ là trung điểm của $AC$ (tính chất hình thoi).

Khi đó ta có $AC \bot SO$.

Ta có $\{\begin{matrix}AC\perp BD\ (\text{t/c hình thoi}) \\ AC\perp SO\ \end{matrix}\Rightarrow AC\perp (SBD)$

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

Đáp án đúng là: B

Góc nhị diện được gọi là vuông nếu nó có số đo bằng $90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SB \bot SA\\SC \bot SA\end{array} \right.$ nên góc $CSB$ là một góc phẳng của góc góc nhị diện $\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]$.

Lại có $\widehat {CSB} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{do}}\,SB \bot SC} \right)$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]$ bằng $90^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc $SDA$.

Tam giác $SAD$ vuông ở $A$ nên $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3$. Suy ra $\widehat {SDA} = 60^\circ$.

Vậy góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có số đo bằng $60^\circ$.

Cỡ mẫu $n = 2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20$.

Gọi ${x_1};\,{x_2};...;\,{x_{20}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$. Mà ${x_5},{x_6}$ thuộc nhóm $\left[ {9;\,11} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10{,}2$.

Do ${Q_1}$ gần với 10 nên nhận định của Hằng là hợp lí.

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$. Suy ra $AI = ID = \frac{1}{2}AD = a$.

Ta có $AI = BC\,\,\left( { = a} \right)$ và $AI\,{\rm{//}}\,BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC} \right)$ nên tứ giác $ABCI$ là hình bình hành. Lại có $AI = AB = a$ nên $ABCI$ là hình thoi, mà $\widehat {ABC} = 90^\circ$, do đó $ABCI$ là hình vuông. Khi đó, $\widehat {AIC} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {CID} = 90^\circ$.

Tam giác $ICD$ có $ID = IC = a$ và $\widehat {CID} = 90^\circ$ nên tam giác $ICD$ vuông cân tại $I$.

Suy ra $\widehat {ICD} = 45^\circ$.

Lại có $\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BCI} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$ (vì $ABCI$ là hình vuông).

Nên ta có $\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = 90^\circ$. Suy ra $AC \bot CD$.

Mà $CD \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)$, từ đó suy ra $DC \bot \left( {SAC} \right)$.

Gọi $n$ là số trận mà An chơi, $A$ là biến cố: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi $n$ trận”. Khi đó $\overline A$ là biến cố: “An thua cả $n$ trận”.

Gọi ${A_i}$ là biến cố: “An thua ở trận thứ $i$”, $i = 1,\,2,\,3,\,...,\,n$. Khi đó

$\overline A = {A_1}{A_2}...{A_n}$ và $P\left( {{A_i}} \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot ... \cdot P\left( {{A_n}} \right) = {\left( {0{,}6} \right)^n}$

$\Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - {\left( {0{,}6} \right)^n}$.

Mà $P\left( A \right) \ge 0{,}95 \Leftrightarrow 1 - {\left( {0{,}6} \right)^n} \ge 0{,}95 \Leftrightarrow n \ge 6$.

Vậy An phải chơi tối thiểu 6 trận.